Страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

656. Не выполняя построения графика функции $y = 2x - \frac{1}{3}$, выяснить, проходит ли он через точку:

1) $(0; -\frac{1}{3});$

2) $(1; -2);$

3) $(\frac{1}{3}; \frac{1}{3});$

4) $(2; 3).$

Чтобы выяснить, проходит ли график функции через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки (x и y) в уравнение функции. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику (график проходит через точку). Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Дана функция $y = 2x - \frac{1}{3}$.

1) Проверяем точку с координатами $(0; -\frac{1}{3})$.

Подставляем $x = 0$ и $y = -\frac{1}{3}$ в уравнение функции:

$-\frac{1}{3} = 2 \cdot 0 - \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3} = 0 - \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$

Равенство верное, значит, график функции проходит через эту точку.

Ответ: проходит.

2) Проверяем точку с координатами $(1; -2)$.

Подставляем $x = 1$ и $y = -2$ в уравнение функции:

$-2 = 2 \cdot 1 - \frac{1}{3}$

$-2 = 2 - \frac{1}{3}$

$-2 = \frac{6}{3} - \frac{1}{3}$

$-2 = \frac{5}{3}$

Равенство неверное, так как $-2 \ne \frac{5}{3}$. Следовательно, график функции не проходит через эту точку.

Ответ: не проходит.

3) Проверяем точку с координатами $(\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$.

Подставляем $x = \frac{1}{3}$ и $y = \frac{1}{3}$ в уравнение функции:

$\frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Равенство верное, значит, график функции проходит через эту точку.

Ответ: проходит.

4) Проверяем точку с координатами $(2; 3)$.

Подставляем $x = 2$ и $y = 3$ в уравнение функции:

$3 = 2 \cdot 2 - \frac{1}{3}$

$3 = 4 - \frac{1}{3}$

$3 = \frac{12}{3} - \frac{1}{3}$

$3 = \frac{11}{3}$

Равенство неверное, так как $3 \ne \frac{11}{3}$ (ведь $3 = \frac{9}{3}$). Следовательно, график функции не проходит через эту точку.

Ответ: не проходит.

657. Построить график функции и указать по графику несколько значений $x$, при которых значения функции положительны; отрицательны:

1) $y = -0,5x - 2$

2) $y = -4x + 3$

1) y = -0,5x - 2

Данная функция является линейной, ее общий вид $y = kx + b$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Удобнее всего найти точки пересечения графика с осями координат:
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого примем $x = 0$:
$y = -0,5 \cdot 0 - 2 = -2$.
Получили точку A с координатами $(0; -2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого примем $y = 0$:
$0 = -0,5x - 2$
$0,5x = -2$
$x = -4$
Получили точку B с координатами $(-4; 0)$.

Построим в системе координат прямую, проходящую через точки A(0; -2) и B(-4; 0).

Теперь по графику определим, при каких значениях $x$ значения функции положительны, а при каких — отрицательны.
- Значения функции положительны ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси Ox. Глядя на построенный график, видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с осью Ox, то есть при $x < -4$. Например, можно взять $x = -5$ или $x = -10$.
- Значения функции отрицательны ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси Ox. Это происходит для всех значений $x$, которые находятся правее точки пересечения с осью Ox, то есть при $x > -4$. Например, можно взять $x = -2$ или $x = 0$.

Ответ: Значения функции положительны, например, при $x = -6, x = -8$; значения функции отрицательны, например, при $x = -3, x = 2$.

2) y = -4x + 3

Это также линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем две точки для построения.

Найдем точки пересечения с осями координат:
1. При $x = 0$:
$y = -4 \cdot 0 + 3 = 3$.
Получили точку C с координатами $(0; 3)$.
2. При $y = 0$:
$0 = -4x + 3$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4} = 0,75$
Получили точку D с координатами $(0,75; 0)$.

Построим в системе координат прямую, проходящую через точки C(0; 3) и D(0,75; 0).

Теперь по графику определим знаки функции.
- Значения функции положительны ($y > 0$), когда график находится выше оси Ox. Это выполняется для всех $x$ левее точки пересечения с осью Ox, то есть при $x < 0,75$. Например, можно взять $x = 0$ или $x = -2$.
- Значения функции отрицательны ($y < 0$), когда график находится ниже оси Ox. Это выполняется для всех $x$ правее точки пересечения с осью Ox, то есть при $x > 0,75$. Например, можно взять $x = 1$ или $x = 5$.

Ответ: Значения функции положительны, например, при $x = -1, x = 0$; значения функции отрицательны, например, при $x = 1, x = 10$.

658. Построить график функции, найдя точки пересечения его с осями координат:

1) $y=2x+2;$

2) $y=-0,5x-1;$

3) $y=4x+8;$

4) $y=-3x+6;$

5) $y=2,5x+5;$

6) $y=-6x-2.$

Для построения графика каждой линейной функции вида $y=kx+b$ достаточно найти две точки, через которые проходит прямая. Удобнее всего использовать точки пересечения с осями координат.

• Точка пересечения с осью ординат (осью Oy) имеет координату $x=0$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (осью Ox) имеет координату $y=0$.

Рассмотрим функцию $y=2x+2$.

Найдем точку пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$ в уравнение:

$y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox. Подставим $y=0$ в уравнение:

$0 = 2x+2$

$2x = -2$

$x = -1$

Точка пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$.

Для построения графика нужно провести прямую через точки $(0; 2)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: с осью Oy – $(0; 2)$, с осью Ox – $(-1; 0)$.

Рассмотрим функцию $y=-0,5x-1$.

Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = -0,5 \cdot 0 - 1 = -1$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = -0,5x - 1$

$0,5x = -1$

$x = -2$

Точка пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$.

График – прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: с осью Oy – $(0; -1)$, с осью Ox – $(-2; 0)$.

Рассмотрим функцию $y=4x+8$.

Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = 4 \cdot 0 + 8 = 8$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 8)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 4x+8$

$4x = -8$

$x = -2$

Точка пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$.

График – прямая, проходящая через точки $(0; 8)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: с осью Oy – $(0; 8)$, с осью Ox – $(-2; 0)$.

Рассмотрим функцию $y=-3x+6$.

Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = -3 \cdot 0 + 6 = 6$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 6)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = -3x+6$

$3x = 6$

$x = 2$

Точка пересечения с осью Ox: $(2; 0)$.

График – прямая, проходящая через точки $(0; 6)$ и $(2; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: с осью Oy – $(0; 6)$, с осью Ox – $(2; 0)$.

Рассмотрим функцию $y=2,5x+5$.

Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = 2,5 \cdot 0 + 5 = 5$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 5)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 2,5x+5$

$2,5x = -5$

$x = -2$

Точка пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$.

График – прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: с осью Oy – $(0; 5)$, с осью Ox – $(-2; 0)$.

Рассмотрим функцию $y=-6x-2$.

Найдем точку пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y = -6 \cdot 0 - 2 = -2$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -2)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = -6x-2$

$6x = -2$

$x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{1}{3}; 0)$.

График – прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: с осью Oy – $(0; -2)$, с осью Ox – $(-\frac{1}{3}; 0)$.

659. Построить график функции:

1) $y=7$;

2) $y=-3,5$;

3) $y=0,25$;

4) $y=0$.

1)

Функция задана уравнением $y=7$. Это частный случай линейной функции вида $y=c$, где $c$ - это постоянная (константа). Для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ будет всегда равно 7. Например, при $x=0$, $y=7$; при $x=2$, $y=7$; при $x=-5$, $y=7$. Все точки, принадлежащие этому графику, имеют ординату, равную 7. Таким образом, график функции $y=7$ представляет собой прямую линию, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и проходит через точку с координатами $(0; 7)$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Графиком функции является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0; 7)$.

2)

Функция задана уравнением $y=-3,5$. Это функция вида $y=c$, где $c$ - константа. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда будет равно -3,5. Например, при $x=0$, $y=-3,5$; при $x=1$, $y=-3,5$; при $x=-10$, $y=-3,5$. Все точки этого графика имеют ординату -3,5. Следовательно, график функции $y=-3,5$ - это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; -3,5)$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Графиком функции является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0; -3,5)$.

3)

Функция задана уравнением $y=0,25$. Это функция вида $y=c$, где $c$ - константа. Для любого значения $x$ значение $y$ будет равно 0,25. Например, при $x=0$, $y=0,25$; при $x=4$, $y=0,25$; при $x=-4$, $y=0,25$. Все точки этого графика имеют ординату 0,25. График функции $y=0,25$ - это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; 0,25)$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Графиком функции является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0; 0,25)$.

4)

Функция задана уравнением $y=0$. Это функция вида $y=c$, где $c=0$. Для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ постоянно и равно 0. Например, при $x=1$, $y=0$; при $x=-5$, $y=0$. Множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) равна нулю, образует ось абсцисс (ось Ox). Таким образом, график функции $y=0$ полностью совпадает с осью Ox.

Ответ: Графиком функции является ось абсцисс (ось Ox).

660. (Устно.) Как из графика функции $y=-2x$ можно получить графики функций $y=-2x+3$ и $y=-2x-3$?

Чтобы получить графики функций $y=-2x+3$ и $y=-2x-3$ из графика функции $y=-2x$, нужно использовать преобразование параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат ($Oy$). Это общее правило для преобразования графика функции $y=f(x)$ в график функции вида $y=f(x)+b$.

Для функции $y=-2x+3$

Данная функция соответствует виду $y=f(x)+b$, где $f(x)=-2x$ и $b=3$. Поскольку $b > 0$, то для получения графика функции $y=-2x+3$ необходимо сдвинуть график исходной функции $y=-2x$ на $b$ единиц вверх. В данном случае, это сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=-2x$ перейдет в точку $(x_0, y_0+3)$ на новом графике. Например, точка $(0,0)$ сдвинется в точку $(0,3)$.
Ответ: График функции $y=-2x+3$ можно получить из графика функции $y=-2x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Для функции $y=-2x-3$

Аналогично, в этом случае функция соответствует виду $y=f(x)+b$, где $f(x)=-2x$ и $b=-3$. Поскольку $b < 0$, то для получения графика функции $y=-2x-3$ необходимо сдвинуть график исходной функции $y=-2x$ на $|b|$ единиц вниз. В данном случае, это сдвиг на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=-2x$ перейдет в точку $(x_0, y_0-3)$ на новом графике. Например, точка $(0,0)$ сдвинется в точку $(0,-3)$.
Ответ: График функции $y=-2x-3$ можно получить из графика функции $y=-2x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

661. (Устно.) Как из графика функции $y = \frac{1}{3}x$ можно получить графики функций $y = \frac{1}{3}x + 2$ и $y = \frac{1}{3}x - 2$?

Для построения графиков функций $y=\frac{1}{3}x+2$ и $y=\frac{1}{3}x-2$ из графика функции $y=\frac{1}{3}x$ используется правило параллельного переноса графика вдоль оси ординат.

Общее правило для преобразования графика функции $y=f(x)$ в график функции $y=f(x)+b$ заключается в следующем:
- если число $b$ положительное ($b>0$), то график функции $y=f(x)$ сдвигается на $b$ единиц вверх вдоль оси $y$;
- если число $b$ отрицательное ($b<0$), то график функции $y=f(x)$ сдвигается на $|b|$ единиц вниз вдоль оси $y$.

В данном случае в качестве исходной функции $f(x)$ выступает $y=\frac{1}{3}x$.

Как получить график функции $y=\frac{1}{3}x+2$

Эта функция соответствует виду $y=f(x)+b$, где $f(x)=\frac{1}{3}x$ и $b=2$. Поскольку $b=2$ — положительное число, для получения графика функции $y=\frac{1}{3}x+2$ необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y=\frac{1}{3}x$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Ответ: Чтобы получить график функции $y=\frac{1}{3}x+2$, нужно сдвинуть график функции $y=\frac{1}{3}x$ на 2 единицы вверх.

Как получить график функции $y=\frac{1}{3}x-2$

Эта функция соответствует виду $y=f(x)+b$, где $f(x)=\frac{1}{3}x$ и $b=-2$. Поскольку $b=-2$ — отрицательное число, для получения графика функции $y=\frac{1}{3}x-2$ необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y=\frac{1}{3}x$ на $|-2|=2$ единицы вниз вдоль оси ординат.

Ответ: Чтобы получить график функции $y=\frac{1}{3}x-2$, нужно сдвинуть график функции $y=\frac{1}{3}x$ на 2 единицы вниз.

662. 1) На складе было 400 т угля. Ежедневно на склад привозили ещё по 50 т. Выразить формулой зависимость количества угля p (в тоннах) от времени t (в днях).

$p = 400 + 50t$

2) На складе было 400 т угля. Ежедневно из этого запаса расходовалось по 50 т. Выразить формулой зависимость количества угля p (в тоннах), находящегося на складе, от времени t (в днях).

$p = 400 - 50t$

1)

Пусть p — это количество угля на складе в тоннах, а t — это время в днях.

Изначально на складе было 400 тонн угля. Это начальное значение, которое не зависит от времени.

Ежедневно количество угля увеличивается на 50 тонн. За t дней количество угля увеличится на $50 \cdot t$ тонн.

Чтобы найти общее количество угля p на складе через t дней, нужно к начальному количеству прибавить то количество, которое привезли за t дней.

Получаем следующую формулу:

Ответ: $p = 400 + 50t$

2)

Пусть p — это количество угля, находящегося на складе, в тоннах, а t — это время в днях.

Изначальный запас угля на складе составляет 400 тонн.

Ежедневно этот запас уменьшается на 50 тонн. За t дней общее количество израсходованного угля составит $50 \cdot t$ тонн.

Чтобы найти количество угля p, оставшегося на складе через t дней, нужно из начального запаса вычесть общее количество израсходованного угля.

Получаем следующую формулу:

Ответ: $p = 400 - 50t$

663. Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем продолжил движение в том же направлении пешком со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии $y$ (в км) от города турист был через $x$ часов ходьбы?

Чтобы определить расстояние $y$ (в км) туриста от города через $x$ часов ходьбы, необходимо найти сумму двух отрезков пути: начального расстояния, которое турист проехал на автобусе, и расстояния, которое он прошел пешком.

1. Начальное расстояние, которое турист уже преодолел, выехав из города на автобусе, составляет 10 км. Это константа в нашей задаче.

2. Дополнительное расстояние, которое турист прошел пешком, можно рассчитать по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время. По условию, скорость ходьбы туриста $v = 5$ км/ч, а время в пути $t = x$ часов. Следовательно, расстояние, пройденное пешком, равно $5 \cdot x$ км.

3. Общее расстояние $y$ от города — это сумма начального расстояния и расстояния, пройденного пешком. Складывая эти два значения, мы получаем искомую формулу:

$y = 10 + 5x$

Эта формула выражает зависимость расстояния $y$ от времени ходьбы $x$.

Ответ: $y = 10 + 5x$.

664. На рисунке 34, а, б изображены пары параллельных прямых.

Записать формулой функцию, график которой — прямая, проходящая через:

1) начало координат на рисунке 34, а;

2) точку с координатами (0; 3) на рисунке 34, б.

а)

б)

Рис. 34

1) Общий вид уравнения прямой (линейной функции) — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.
На рисунке 34, а изображены две параллельные прямые. Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов. Найдем угловой коэффициент $k$ для одной из прямых, например, для той, что проходит через точки с координатами $(-3; 0)$ и $(0; 3)$.
Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек: $k = \frac{3 - 0}{0 - (-3)} = \frac{3}{3} = 1$.
Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен 1. Ее уравнение имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, или $y = x + b$.
По условию, эта прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение прямой, чтобы найти коэффициент $b$:
$0 = 0 + b$
Отсюда $b = 0$.
Таким образом, искомая формула функции: $y = x$.
Ответ: $y = x$

2) Аналогично первому пункту, найдем угловой коэффициент прямых, изображенных на рисунке 34, б. Возьмем прямую, проходящую через точки с координатами $(3; 0)$ и $(0; 3)$.
Вычислим ее угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - 3} = \frac{3}{-3} = -1$.
Искомая прямая параллельна данным, значит, ее угловой коэффициент также равен -1. Уравнение прямой имеет вид $y = -1 \cdot x + b$, или $y = -x + b$.
По условию, эта прямая проходит через точку с координатами $(0; 3)$. Подставим эти координаты в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$:
$3 = -0 + b$
Отсюда $b = 3$.
Таким образом, искомая формула функции: $y = -x + 3$.
Ответ: $y = -x + 3$

665. Найти значение $b$, если известно, что график функции $y=-3x+b$ проходит через точку:

1) $M(-2; 4)$;

2) $N(5; 2)$.

1) M(-2; 4)

Дана функция $y = -3x + b$. Если график функции проходит через точку $M(-2; 4)$, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это значит, что если мы подставим $x = -2$ и $y = 4$ в уравнение, то получим верное равенство.

Подставим координаты точки M в уравнение функции:

$4 = -3 \cdot (-2) + b$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$4 = 6 + b$

Чтобы найти $b$, перенесем 6 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$b = 4 - 6$

$b = -2$

Ответ: -2

2) N(5; 2)

Аналогично первому пункту, используем уравнение функции $y = -3x + b$. График проходит через точку $N(5; 2)$, следовательно, ее координаты $x = 5$ и $y = 2$ удовлетворяют уравнению.

Подставим значения координат в уравнение:

$2 = -3 \cdot 5 + b$

Решим уравнение относительно $b$:

$2 = -15 + b$

Чтобы найти $b$, перенесем -15 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$b = 2 + 15$

$b = 17$

Ответ: 17