Страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

632. Построить график функции, заданной формулой $y = -1.5x$. Найти по графику:

1) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному 1; 0; 2; 3;

2) значение $x$, если значение $y$ равно -3; 4,5; 6;

3) несколько целых значений $x$, при которых значения $y$ положительны (отрицательны).

Для построения графика функции $y = -1,5x$ определим координаты двух точек, так как функция является линейной и её график — прямая линия.

1. При $x = 0$, $y = -1,5 \cdot 0 = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.

2. При $x = 2$, $y = -1,5 \cdot 2 = -3$. Вторая точка — $(2; -3)$.

Проведём прямую через эти две точки в системе координат. Получим следующий график:

1) значение y, соответствующее значению x, равному 1; 0; 2; 3;

Для нахождения значения $y$ по графику для заданного $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) нужное значение, провести перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси $y$). Точка на оси $y$ и будет искомым значением.

• Если $x = 1$, находим на оси $x$ точку 1, опускаемся до графика и движемся влево к оси $y$. Получаем $y = -1,5$.
• Если $x = 0$, точка находится на самом графике в начале координат, поэтому $y = 0$.
• Если $x = 2$, опускаемся от точки 2 на оси $x$ до графика и движемся влево к оси $y$. Получаем $y = -3$.
• Если $x = 3$, опускаемся от точки 3 на оси $x$ до графика и движемся влево к оси $y$. Получаем $y = -4,5$.

Ответ: если $x=1$, то $y=-1,5$; если $x=0$, то $y=0$; если $x=2$, то $y=-3$; если $x=3$, то $y=-4,5$.

2) значение x, если значение y равно -3; 4,5; 6;

Для нахождения значения $x$ по графику для заданного $y$, нужно найти на оси ординат (оси $y$) нужное значение, провести перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси абсцисс (оси $x$). Точка на оси $x$ и будет искомым значением.

• Если $y = -3$, находим на оси $y$ точку -3, движемся вправо до графика и поднимаемся вверх к оси $x$. Получаем $x = 2$.
• Если $y = 4,5$, находим на оси $y$ точку 4,5 (между 4 и 5), движемся влево до графика и опускаемся вниз к оси $x$. Получаем $x = -3$.
• Если $y = 6$, для этого значения нужно мысленно продолжить график. Движемся от $y=6$ влево до пересечения с линией графика и опускаемся к оси $x$. Получаем $x = -4$. Проверка по формуле: $6 = -1,5x \implies x = 6 / (-1,5) = -4$.

Ответ: если $y=-3$, то $x=2$; если $y=4,5$, то $x=-3$; если $y=6$, то $x=-4$.

3) несколько целых значений x, при которых значения y положительны (отрицательны).

Положительные значения $y$ ($y > 0$) находятся выше оси $x$. Глядя на график, мы видим, что это происходит в левой части графика, где значения $x$ отрицательны.

Условие $y > 0$ равносильно неравенству $-1,5x > 0$. Разделив обе части на $-1,5$ (и изменив знак неравенства), получим $x < 0$. Таким образом, для любого целого отрицательного $x$ значение $y$ будет положительным.Например: $x = -1$ (тогда $y = 1,5$), $x = -2$ (тогда $y = 3$), $x = -4$ (тогда $y = 6$).

Отрицательные значения $y$ ($y < 0$) находятся ниже оси $x$. Глядя на график, мы видим, что это происходит в правой части графика, где значения $x$ положительны.

Условие $y < 0$ равносильно неравенству $-1,5x < 0$. Разделив обе части на $-1,5$ (и изменив знак неравенства), получим $x > 0$. Таким образом, для любого целого положительного $x$ значение $y$ будет отрицательным.Например: $x = 1$ (тогда $y = -1,5$), $x = 2$ (тогда $y = -3$), $x = 4$ (тогда $y = -6$).

Ответ: значения $y$ положительны при целых $x$, таких как $-1, -2, -3$; значения $y$ отрицательны при целых $x$, таких как $1, 2, 3$.

633. Построить график функции, заданной формулой $y=0,2x$. Найти по графику:

1) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному $-5$; $0$; $5$;

2) значение $x$, если значение функции равно $-2$; $0$; $2$;

3) несколько значений $x$, при которых значения $y$ отрицательны (положительны).

Сначала построим график функции $y=0,2x$.

Данная функция является прямой пропорциональностью вида $y=kx$, где коэффициент $k=0,2$. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат — точку (0; 0).

Для построения прямой достаточно найти еще одну точку. Возьмем произвольное значение $x$, например, $x=5$.

Если $x=5$, то $y = 0,2 \cdot 5 = 1$.

Таким образом, мы имеем вторую точку с координатами (5; 1).

Проведя прямую через точки (0; 0) и (5; 1), мы получим график функции $y=0,2x$.

Теперь, используя построенный график (и проверяя вычислениями), ответим на вопросы.

1) значение y, соответствующее значению x, равному –5; 0; 5;

• При $x=-5$: Находим на оси абсцисс (Ox) значение -5, опускаемся вертикально до пересечения с графиком, затем движемся горизонтально до оси ординат (Oy). Получаем $y=-1$. Проверим вычислением: $y = 0,2 \cdot (-5) = -1$.
• При $x=0$: График проходит через начало координат, следовательно, $y=0$. Проверим вычислением: $y = 0,2 \cdot 0 = 0$.
• При $x=5$: Находим на оси абсцисс (Ox) значение 5, поднимаемся вертикально до пересечения с графиком, затем движемся горизонтально до оси ординат (Oy). Получаем $y=1$. Проверим вычислением: $y = 0,2 \cdot 5 = 1$.

Ответ: при $x=-5$ значение $y=-1$; при $x=0$ значение $y=0$; при $x=5$ значение $y=1$.

2) значение x, если значение функции равно –2; 0; 2;

• При $y=-2$: Находим на оси ординат (Oy) значение -2, движемся горизонтально до пересечения с графиком, затем опускаемся вертикально до оси абсцисс (Ox). Для нахождения точного значения решим уравнение: $-2 = 0,2x$. Отсюда $x = \frac{-2}{0,2} = -10$.
• При $y=0$: Так как график проходит через начало координат, $y=0$ при $x=0$. Проверим уравнением: $0 = 0,2x$, откуда $x=0$.
• При $y=2$: Находим на оси ординат (Oy) значение 2, движемся горизонтально до пересечения с графиком, затем опускаемся вертикально до оси абсцисс (Ox). Решим уравнение: $2 = 0,2x$. Отсюда $x = \frac{2}{0,2} = 10$.

Ответ: значение $x=-10$ при $y=-2$; значение $x=0$ при $y=0$; значение $x=10$ при $y=2$.

3) несколько значений x, при которых значения y отрицательны (положительны).

Значения $y$ отрицательны ($y<0$), когда график функции расположен ниже оси Ox. Это происходит при всех отрицательных значениях $x$. $0,2x < 0 \implies x < 0$. Например: при $x=-1$, $y=-0,2$; при $x=-5$, $y=-1$; при $x=-20$, $y=-4$.

Значения $y$ положительны ($y>0$), когда график функции расположен выше оси Ox. Это происходит при всех положительных значениях $x$. $0,2x > 0 \implies x > 0$. Например: при $x=2$, $y=0,4$; при $x=5$, $y=1$; при $x=15$, $y=3$.

Ответ: значения $y$ отрицательны, например, при $x=-1, x=-5, x=-20$. Значения $y$ положительны, например, при $x=2, x=5, x=15$.

634. Построить график функции и указать, внутри каких координатных углов расположен этот график:

1) $y = \frac{1}{3}x$;

2) $y = -\frac{1}{3}x$;

3) $y = 4,5x$;

4) $y = -4,5x$.

Для решения задачи необходимо проанализировать каждую функцию. Все представленные функции вида $y=kx$ являются линейными, их графиком является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $O(0,0)$). Расположение графика в координатных углах (четвертях) зависит от знака коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, то график расположен в I и III координатных углах.
• Если $k < 0$, то график расположен в II и IV координатных углах.

Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки, кроме начала координат.

1) $y = \frac{1}{3}x$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Коэффициент $k = \frac{1}{3} > 0$, следовательно, график расположен в I и III координатных углах.

Для построения найдем еще одну точку. Пусть $x = 3$. Тогда $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$.

Получили точку $(3,1)$. Проводим прямую через точки $(0,0)$ и $(3,1)$. Эта прямая проходит через I ($x>0, y>0$) и III ($x<0, y<0$) координатные углы.

Ответ: график функции расположен в I и III координатных углах.

2) $y = -\frac{1}{3}x$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Коэффициент $k = -\frac{1}{3} < 0$, следовательно, график расположен во II и IV координатных углах.

Для построения найдем еще одну точку. Пусть $x = 3$. Тогда $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$.

Получили точку $(3,-1)$. Проводим прямую через точки $(0,0)$ и $(3,-1)$. Эта прямая проходит через II ($x<0, y>0$) и IV ($x>0, y<0$) координатные углы.

Ответ: график функции расположен во II и IV координатных углах.

3) $y = 4,5x$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Коэффициент $k = 4,5 > 0$, следовательно, график расположен в I и III координатных углах.

Для построения найдем еще одну точку. Пусть $x = 2$. Тогда $y = 4,5 \cdot 2 = 9$.

Получили точку $(2,9)$. Проводим прямую через точки $(0,0)$ и $(2,9)$. Эта прямая проходит через I и III координатные углы.

Ответ: график функции расположен в I и III координатных углах.

4) $y = -4,5x$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Коэффициент $k = -4,5 < 0$, следовательно, график расположен во II и IV координатных углах.

Для построения найдем еще одну точку. Пусть $x = 2$. Тогда $y = -4,5 \cdot 2 = -9$.

Получили точку $(2,-9)$. Проводим прямую через точки $(0,0)$ и $(2,-9)$. Эта прямая проходит через II и IV координатные углы.

Ответ: график функции расположен во II и IV координатных углах.

635. Какие из точек A(5; -3), B(-2; 4), C(0; 0), D(2; 1), E(-5; 2,5) принадлежат графику функции, заданной формулой $y = \frac{1}{2}x$?

Чтобы определить, какие из данных точек принадлежат графику функции $y = \frac{1}{2}x$, необходимо подставить координаты каждой точки (x, y) в уравнение функции. Если равенство окажется верным, то точка принадлежит графику.

A(5; -3) Подставим координаты точки A в уравнение функции. Здесь $x=5$ и $y=-3$. $y = \frac{1}{2}x$ $-3 = \frac{1}{2} \cdot 5$ $-3 = 2.5$ Равенство неверное. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

B(-2; 4) Подставим координаты точки B в уравнение функции. Здесь $x=-2$ и $y=4$. $y = \frac{1}{2}x$ $4 = \frac{1}{2} \cdot (-2)$ $4 = -1$ Равенство неверное. Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

C(0; 0) Подставим координаты точки C в уравнение функции. Здесь $x=0$ и $y=0$. $y = \frac{1}{2}x$ $0 = \frac{1}{2} \cdot 0$ $0 = 0$ Равенство верное. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

D(2; 1) Подставим координаты точки D в уравнение функции. Здесь $x=2$ и $y=1$. $y = \frac{1}{2}x$ $1 = \frac{1}{2} \cdot 2$ $1 = 1$ Равенство верное. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

E(-5; 2,5) Подставим координаты точки E в уравнение функции. Здесь $x=-5$ и $y=2,5$. $y = \frac{1}{2}x$ $2.5 = \frac{1}{2} \cdot (-5)$ $2.5 = -2.5$ Равенство неверное. Следовательно, точка E не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

Итак, графику функции $y = \frac{1}{2}x$ принадлежат точки C(0; 0) и D(2; 1).

636. Прямая пропорциональная зависимость площади $S$ прямоугольника от его ширины $x$ представлена таблицей:

Устно найти по таблице коэффициент пропорциональности $k$ и заполнить таблицу.

Устно найти по таблице коэффициент пропорциональности k

По условию, зависимость площади $S$ от ширины $x$ является прямой пропорциональностью. Это означает, что она описывается формулой $S(x) = k \cdot x$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Для нахождения коэффициента $k$ нужно найти отношение $k = \frac{S(x)}{x}$ для любой известной пары значений из таблицы.

Возьмем пару $x = 0,14$ и $S(x) = 0,7$. Чтобы упростить вычисление в уме, можно представить это как деление $0,70$ на $0,14$, что равносильно делению $70$ на $14$.

$k = \frac{0,7}{0,14} = \frac{70}{14} = 5$

Ответ: $k = 5$.

Заполнить таблицу

Зная, что коэффициент пропорциональности $k=5$, мы можем найти все недостающие значения в таблице.

Для нахождения площади $S(x)$ используется формула $S(x) = 5 \cdot x$:

При $x = 3,1$: $S(x) = 5 \cdot 3,1 = 15,5$

При $x = 2,5$: $S(x) = 5 \cdot 2,5 = 12,5$

При $x = 1,3$: $S(x) = 5 \cdot 1,3 = 6,5$

При $x = 0,9$: $S(x) = 5 \cdot 0,9 = 4,5$

Для нахождения ширины $x$ используется формула $x = \frac{S(x)}{5}$:

При $S(x) = 0,3$: $x = \frac{0,3}{5} = 0,06$

При $S(x) = 0,1$: $x = \frac{0,1}{5} = 0,02$

Ответ:

637. Масса $m$ тела прямо пропорциональна его объёму $V$. Устно найти коэффициент пропорциональности $p$ из данной таблицы и заполнить таблицу:

Согласно условию задачи, масса тела m прямо пропорциональна его объёму V. Это математически выражается формулой прямой пропорциональности:
$m = p \cdot V$
где p — постоянный коэффициент пропорциональности. В физике этот коэффициент соответствует плотности вещества.

Найти коэффициент пропорциональности p
Для того чтобы найти коэффициент p, воспользуемся данными из таблицы, где известны и масса, и объём: $m = 3,1 \text{ г}$ при $V = 9,3 \text{ см}^3$.
Выразим p из формулы:
$p = \frac{m}{V}$
Подставим известные значения:
$p = \frac{3,1}{9,3} = \frac{31}{93} = \frac{31}{3 \cdot 31} = \frac{1}{3}$
Коэффициент пропорциональности равен $\frac{1}{3} \text{ г/см}^3$. Это означает, что для нахождения массы нужно объём разделить на 3 ($m = V/3$), а для нахождения объёма нужно массу умножить на 3 ($V = 3m$).
Ответ: Коэффициент пропорциональности $p = \frac{1}{3} \text{ г/см}^3$.

Заполнить таблицу
Используя найденные зависимости, вычислим пропущенные значения в таблице.

Вычисление недостающих масс (используем формулу $m = V/3$):
1. Если $V = 11,2 \text{ см}^3$, то $m = \frac{11,2}{3} = 3,7(3) \text{ г}$.
2. Если $V = 10,5 \text{ см}^3$, то $m = \frac{10,5}{3} = 3,5 \text{ г}$.

Вычисление недостающих объёмов (используем формулу $V = 3m$):
3. Если $m = 7,2 \text{ г}$, то $V = 3 \cdot 7,2 = 21,6 \text{ см}^3$.
4. Если $m = 0,63 \text{ г}$, то $V = 3 \cdot 0,63 = 1,89 \text{ см}^3$.
5. Если $m = 0,45 \text{ г}$, то $V = 3 \cdot 0,45 = 1,35 \text{ см}^3$.

Итоговая заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

638. Тело, двигаясь равномерно, прошло путь $AB$ за 5 с, а путь $BC$ за 2 с. Во сколько раз $AB$ длиннее $BC$?

Для решения данной задачи воспользуемся тем фактом, что тело движется равномерно. Это означает, что его скорость $v$ постоянна на всем пути.

Формула для расчета пути $s$ при равномерном движении имеет вид:

$s = v \cdot t$

где $v$ — постоянная скорость, а $t$ — время движения.

Согласно условию, время движения на участке AB составляет $t_{AB} = 5$ с. Следовательно, длина пути AB равна:

$s_{AB} = v \cdot t_{AB} = v \cdot 5$

Время движения на участке BC составляет $t_{BC} = 2$ с. Длина пути BC равна:

$s_{BC} = v \cdot t_{BC} = v \cdot 2$

Чтобы найти, во сколько раз путь AB длиннее пути BC, необходимо найти отношение их длин, то есть $\frac{s_{AB}}{s_{BC}}$.

Подставим полученные выражения для длин путей в это отношение:

$\frac{s_{AB}}{s_{BC}} = \frac{v \cdot 5}{v \cdot 2}$

Поскольку скорость $v$ является постоянной величиной и не равна нулю, мы можем сократить её в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{s_{AB}}{s_{BC}} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, путь AB в 2,5 раза длиннее пути BC.

Ответ: в 2,5 раза.

639. Для перевозки некоторого количества зерна автомашина, имеющая грузоподъёмность 4 т, сделала 15 рейсов. Какую грузоподъёмность должна иметь автомашина, чтобы такое же количество зерна перевезти за 12 рейсов? Является ли грузоподъёмность и число рейсов прямо пропорциональными величинами?

Какую грузоподъёмность должна иметь автомашина, чтобы такое же количество зерна перевезти за 12 рейсов?

1. Сначала определим общее количество зерна, которое необходимо перевезти. Для этого умножим грузоподъёмность автомашины на количество сделанных ею рейсов.

Общее количество зерна = $4 \text{ т} \times 15 \text{ рейсов} = 60 \text{ т}$.

2. Теперь, зная общее количество зерна (60 т), мы можем рассчитать требуемую грузоподъёмность для перевозки этого же количества за 12 рейсов. Для этого разделим общее количество зерна на новое количество рейсов.

Требуемая грузоподъёмность = $\frac{60 \text{ т}}{12 \text{ рейсов}} = 5 \text{ т}$.

Ответ: Чтобы перевезти такое же количество зерна за 12 рейсов, автомашина должна иметь грузоподъёмность 5 т.

Является ли грузоподъёмность и число рейсов прямо пропорциональными величинами?

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

В данной задаче общее количество зерна, которое нужно перевезти, является постоянной величиной. Чтобы перевезти один и тот же груз, при увеличении грузоподъёмности машины потребуется совершить меньшее количество рейсов. И наоборот, если грузоподъёмность машины меньше, рейсов понадобится больше.

В нашем случае количество рейсов уменьшилось с 15 до 12, а необходимая для этого грузоподъёмность, наоборот, увеличилась с 4 т до 5 т. Поскольку при уменьшении одной величины другая увеличивается, эти величины являются обратно пропорциональными. Их произведение постоянно: $4 \times 15 = 60$ и $5 \times 12 = 60$.

Ответ: Нет, грузоподъёмность и число рейсов не являются прямо пропорциональными величинами. Они обратно пропорциональны.