Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что является графиком функции $y = kx$?

1. Функция, заданная формулой $y=kx$, где $x$ – независимая переменная, а $k$ – некоторое число (коэффициент пропорциональности), называется прямой пропорциональностью.

Данная функция является частным случаем линейной функции общего вида $y=kx+b$, в которой свободный член $b=0$. Графиком любой линейной функции является прямая линия.

Определим ключевые особенности графика функции $y=kx$. Поскольку при подстановке $x=0$ в уравнение мы получаем $y = k \cdot 0 = 0$, график всегда проходит через точку с координатами $(0;0)$, то есть через начало координат, независимо от значения коэффициента $k$.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox). От знака коэффициента $k$ зависит расположение прямой на координатной плоскости:

1. Если $k>0$, то прямая расположена в I и III координатных четвертях (функция является возрастающей).

2. Если $k<0$, то прямая расположена во II и IV координатных четвертях (функция является убывающей).

3. Если $k=0$, то функция принимает вид $y=0$, и ее график совпадает с осью абсцисс Ox.

Таким образом, обобщая все вышесказанное, графиком функции $y=kx$ является прямая линия, которая проходит через начало координат.

Ответ: Прямая, проходящая через начало координат.

2. Через какую точку проходят все графики функций вида $y = kx$?

Рассмотрим семейство функций, заданных уравнением $y = kx$. Это уравнение описывает прямую пропорциональность, где $k$ — коэффициент пропорциональности, который может быть любым действительным числом. Графиком каждой такой функции является прямая линия.

Чтобы найти точку, через которую проходят все графики данного вида, необходимо найти такую пару координат $(x_0, y_0)$, которая будет удовлетворять уравнению $y_0 = kx_0$ при любом значении коэффициента $k$.

Проанализируем это равенство.

1. Предположим, что абсцисса нашей точки $x_0 \neq 0$. Тогда из равенства $y_0 = kx_0$ можно выразить $k = \frac{y_0}{x_0}$. Это означает, что для каждой точки, не лежащей на оси OY, существует только одно значение $k$, при котором график функции $y = kx$ пройдет через эту точку. Например, через точку $(1, 3)$ проходит только график функции $y = 3x$ (здесь $k=3$), а через точку $(1, -2)$ — только график $y = -2x$ (здесь $k=-2$). Следовательно, ни одна точка с ненулевой абсциссой не может быть общей для всех графиков семейства.

2. Теперь рассмотрим случай, когда абсцисса точки равна нулю, то есть $x_0 = 0$. Подставим это значение в наше основное равенство: $y_0 = k \cdot 0$

В результате умножения на ноль получаем: $y_0 = 0$

Этот результат $y_0 = 0$ совершенно не зависит от значения коэффициента $k$. Это означает, что для любой функции вида $y = kx$, если мы возьмем $x=0$, то $y$ всегда будет равен 0, каким бы ни было число $k$.

Таким образом, точка с координатами $(0, 0)$ принадлежит любому графику функции вида $y = kx$. Эта точка является началом координат.

Ответ: все графики функций вида $y = kx$ проходят через одну общую точку — начало координат, то есть точку с координатами $(0, 0)$.

3. Как можно построить график функции $y = kx$?

Функция вида $y = kx$ является прямой пропорциональностью, и её график — это прямая линия. Для построения любой прямой линии достаточно определить координаты двух её точек. Таким образом, для построения графика функции $y = kx$ следует выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Нахождение первой точки

График функции $y = kx$ всегда проходит через начало координат. Это можно проверить, подставив $x = 0$ в уравнение: $y = k \cdot 0 = 0$. Таким образом, первая точка всегда имеет координаты $(0, 0)$.

Шаг 2: Нахождение второй точки

Выберите любое удобное значение $x$, не равное нулю, и вычислите соответствующее значение $y$. Часто для простоты выбирают $x = 1$. В этом случае $y = k \cdot 1 = k$. Вторая точка будет иметь координаты $(1, k)$. Если коэффициент $k$ является дробью, то для получения целочисленных координат в качестве $x$ удобно взять знаменатель этой дроби.

Шаг 3: Построение графика

Отметьте на координатной плоскости две найденные точки: $(0, 0)$ и вторую, найденную на предыдущем шаге. Затем с помощью линейки проведите через них прямую. Эта линия и является графиком функции $y = kx$.

Влияние коэффициента $k$ на график:

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой.
- Если $k > 0$, прямая проходит через I и III координатные четверти (функция возрастает).
- Если $k < 0$, прямая проходит через II и IV координатные четверти (функция убывает).
- Если $k = 0$, то уравнение принимает вид $y = 0$, и его график совпадает с осью абсцисс (осью Ox).

Ответ: Для построения графика функции $y = kx$ нужно найти две точки, удовлетворяющие уравнению. Первая точка — это всегда начало координат $(0, 0)$. Вторая точка находится подстановкой любого ненулевого значения $x$ (например, $x=1$), что дает точку $(1, k)$. Затем через эти две точки на координатной плоскости проводится прямая линия.

4. При каких значениях $x$ и $k$ формула $y = kx$ выражает прямую пропорциональную зависимость?

Формула $y=kx$ описывает прямую пропорциональную зависимость между двумя переменными, $x$ и $y$. В этой формуле $y$ — зависимая переменная, $x$ — независимая переменная, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0,0)$). Чтобы эта формула выражала именно прямую пропорциональность, необходимо проанализировать значения, которые могут принимать $k$ и $x$.

Значения k (коэффициент пропорциональности)

Коэффициент $k$ в формуле $y=kx$ должен быть постоянной величиной (константой). Он определяет наклон графика функции и характер зависимости между переменными.

Рассмотрим разные случаи для $k$:

1. Если $k \neq 0$, то при изменении $x$ значение $y$ также изменяется. Отношение $y/x$ (при $x \neq 0$) всегда постоянно и равно $k$. Это и есть определение прямой пропорциональности.

• При $k > 0$ с ростом $x$ растет и $y$.
• При $k < 0$ с ростом $x$ значение $y$ уменьшается.

2. Если $k = 0$, то формула принимает вид $y = 0 \cdot x$, то есть $y=0$ для любого значения $x$. В этом случае $y$ не изменяется при изменении $x$. Такая зависимость является частным случаем линейной функции, но обычно ее не называют прямой пропорциональностью в строгом смысле, так как отсутствует пропорциональное изменение одной величины относительно другой.

Таким образом, для того чтобы формула выражала прямую пропорциональную зависимость, коэффициент $k$ должен быть константой, не равной нулю.

Значения x (независимая переменная)

Переменная $x$ является независимой переменной или аргументом. Для функции $y=kx$ не существует каких-либо математических ограничений на значения, которые может принимать $x$. Зависимость сохраняется для любого действительного числа.

Следовательно, $x$ может быть любым действительным числом ($x \in \mathbb{R}$).

Ответ: Формула $y=kx$ выражает прямую пропорциональную зависимость, если коэффициент $k$ является постоянным числом, не равным нулю ($k \in \mathbb{R}, k \neq 0$), а переменная $x$ может принимать любые действительные значения ($x \in \mathbb{R}$).

5. В каких четвертях расположен график функции $y=kx$, если $k>0$; $k<0$?

Функция $y = kx$ — это прямая пропорциональность, график которой представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (точку $O(0,0)$). Расположение этой прямой в координатной плоскости определяется знаком углового коэффициента $k$.

k > 0

Если коэффициент $k$ положителен, то переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Проанализируем это:

1. Если $x > 0$, то $y = kx$ также будет больше нуля ($y > 0$), так как произведение двух положительных чисел положительно. Точки с координатами $(+; +)$ расположены в I (первой) координатной четверти.

2. Если $x < 0$, то $y = kx$ также будет меньше нуля ($y < 0$), так как произведение положительного числа ($k$) на отрицательное ($x$) даёт отрицательный результат. Точки с координатами $(-; -)$ расположены в III (третьей) координатной четверти.

Таким образом, при $k > 0$ график функции проходит через первую и третью координатные четверти.
Ответ: I и III четверти.

k < 0

Если коэффициент $k$ отрицателен, то переменные $x$ и $y$ имеют противоположные знаки. Проанализируем это:

1. Если $x > 0$, то $y = kx$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как произведение отрицательного числа ($k$) на положительное ($x$) даёт отрицательный результат. Точки с координатами $(+; -)$ расположены в IV (четвертой) координатной четверти.

2. Если $x < 0$, то $y = kx$ будет больше нуля ($y > 0$), так как произведение двух отрицательных чисел ($k$ и $x$) даёт положительный результат. Точки с координатами $(-; +)$ расположены во II (второй) координатной четверти.

Таким образом, при $k < 0$ график функции проходит через вторую и четвертую координатные четверти.
Ответ: II и IV четверти.

1. Функция задана формулой $y=-2x$. Найти $y(0)$; $y(-3)$; $y\left(\frac{1}{4}\right)$; $y(0,5)$.

Для нахождения значений функции $y = -2x$ для заданных значений аргумента $x$, нужно подставить эти значения в формулу и выполнить вычисления.

y(0)

Подставляем $x = 0$ в формулу функции:

$y(0) = -2 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

y(-3)

Подставляем $x = -3$ в формулу функции:

$y(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$

Ответ: 6

y($\frac{1}{4}$)

Подставляем $x = \frac{1}{4}$ в формулу функции:

$y(\frac{1}{4}) = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} = -0,5$

Ответ: -0,5

y(0,5)

Подставляем $x = 0,5$ в формулу функции:

$y(0,5) = -2 \cdot 0,5 = -1$

Ответ: -1

2. Функция задана формулой $y = \frac{1}{3}x$. Найти значение $x$, при котором значение $y$ равно $-5$; $\frac{1}{6}$; $0,2$; $0$.

Для решения задачи необходимо найти значения $x$, соответствующие заданным значениям $y$ для функции $y = \frac{1}{3}x$. Для этого выразим $x$ из формулы функции. Умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot y = 3 \cdot \frac{1}{3}x$

$x = 3y$

Теперь мы можем найти $x$, подставив в полученную формулу каждое из заданных значений $y$.

-5

Подставим значение $y = -5$ в формулу $x = 3y$:

$x = 3 \cdot (-5) = -15$

Ответ: -15

$\frac{1}{6}$

Подставим значение $y = \frac{1}{6}$ в формулу $x = 3y$:

$x = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

0,2

Подставим значение $y = 0,2$ в формулу $x = 3y$:

$x = 3 \cdot 0,2 = 0,6$

Ответ: 0,6

0

Подставим значение $y = 0$ в формулу $x = 3y$:

$x = 3 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

3. На координатной плоскости построить точки $K(1; 5)$; $M\left(-3; \frac{1}{2}\right)$; $N(-2; -4)$; $P\left(0; -1\frac{1}{2}\right)$; $Q(1; 0)$.

Для построения точек на координатной плоскости используется прямоугольная (декартова) система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей: горизонтальной оси абсцисс (Ox) и вертикальной оси ординат (Oy). Каждая точка задается парой чисел $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината.

Точка K$(1; 5)$

Координаты точки K: абсцисса $x=1$, ордината $y=5$. Чтобы построить эту точку, нужно от начала координат (точки $(0;0)$) отложить 1 единицу вправо по оси Ox, а затем 5 единиц вверх параллельно оси Oy.

Ответ: Точка K расположена в I координатной четверти.

Точка M$(-3; \frac{1}{2})$

Координаты точки M: абсцисса $x=-3$, ордината $y=\frac{1}{2}$ (или $0.5$). Для построения этой точки нужно от начала координат отложить 3 единицы влево по оси Ox, а затем $0.5$ единицы вверх параллельно оси Oy.

Ответ: Точка M расположена во II координатной четверти.

Точка N$(-2; -4)$

Координаты точки N: абсцисса $x=-2$, ордината $y=-4$. Для построения этой точки нужно от начала координат отложить 2 единицы влево по оси Ox, а затем 4 единицы вниз параллельно оси Oy.

Ответ: Точка N расположена в III координатной четверти.

Точка P$(0; -1\frac{1}{2})$

Координаты точки P: абсцисса $x=0$, ордината $y=-1\frac{1}{2}$ (или $-1.5$). Поскольку абсцисса равна нулю, точка лежит на оси ординат Oy. Для её построения нужно от начала координат отложить $1.5$ единицы вниз по оси Oy.

Ответ: Точка P расположена на отрицательной полуоси ординат (оси Oy).

Точка Q$(1; 0)$

Координаты точки Q: абсцисса $x=1$, ордината $y=0$. Поскольку ордината равна нулю, точка лежит на оси абсцисс Ox. Для её построения нужно от начала координат отложить 1 единицу вправо по оси Ox.

Ответ: Точка Q расположена на положительной полуоси абсцисс (оси Ox).

Итоговое построение на координатной плоскости

Ниже представлен график, на котором отмечены все указанные точки: K, M, N, P, Q.

Ответ:

4. Найти расстояние, которое проходит путник за 3 ч, двигаясь со скоростью 4 км/ч.

Чтобы найти расстояние, которое проходит объект, нужно его скорость умножить на время, в течение которого он двигался. Это выражается формулой:

$s = v \times t$

где:

$s$ — расстояние,

$v$ — скорость,

$t$ — время.

В данной задаче нам известны следующие величины:

Скорость путника $v = 4$ км/ч.

Время в пути $t = 3$ ч.

Подставляем эти значения в формулу и вычисляем расстояние:

$s = 4 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 12 \text{ км.}$

Ответ: 12 км.

5. Найти время, за которое велосипедист преодолевает расстояние в 20 км, если движется со скоростью 8 км/ч.

Чтобы найти время, за которое велосипедист преодолеет заданное расстояние, нужно разделить это расстояние на скорость движения.

Основная формула для расчета времени:
$t = \frac{S}{v}$
где:
$t$ – искомое время,
$S$ – расстояние (в данном случае $S = 20$ км),
$v$ – скорость (в данном случае $v = 8$ км/ч).

Подставим значения из условия задачи в формулу:
$t = \frac{20}{8}$

Выполним деление:
$t = 2,5$ часа.

Это означает, что время в пути составляет 2,5 часа. Чтобы выразить это значение в часах и минутах, мы можем представить 2,5 часа как 2 целых часа и 0,5 часа.
Переведем 0,5 часа в минуты, умножив на 60 (поскольку в одном часе 60 минут):
$0,5 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 30$ минут.

Таким образом, велосипедисту потребуется 2 часа и 30 минут.

Ответ: 2,5 часа (или 2 часа 30 минут).

627. Книга стоит 200 р. Выразить формулой зависимость между купленным числом $n$ экземпляров этой книги и уплаченной суммой $y$, выраженной в рублях. Чему равно $y(6)$, $y(11)$?

Выражение зависимости формулой

Пусть $n$ — это количество купленных экземпляров книги, а $y$ — уплаченная за них сумма в рублях. Согласно условию, цена одной книги составляет 200 рублей. Общая стоимость покупки ($y$) равна произведению цены одной книги на их количество ($n$). Таким образом, зависимость между уплаченной суммой $y$ и количеством книг $n$ выражается следующей формулой: $y = 200 \cdot n$

Ответ: $y = 200n$.

Нахождение значений y(6) и y(11)

Для того чтобы найти значения $y(6)$ и $y(11)$, необходимо подставить в полученную формулу $y = 200n$ соответствующие значения $n$.

1. Найдем $y(6)$, подставив $n=6$:
$y(6) = 200 \cdot 6 = 1200$
Следовательно, стоимость 6 книг составляет 1200 рублей.

2. Найдем $y(11)$, подставив $n=11$:
$y(11) = 200 \cdot 11 = 2200$
Следовательно, стоимость 11 книг составляет 2200 рублей.

Ответ: $y(6) = 1200$, $y(11) = 2200$.

628. Автомобиль «Волга» движется по шоссе со скоростью 80 км/ч. Записать формулу, выражающую зависимость длины пути $s$ (в км) от времени движения $t$ (в ч). Чему равно $s(3)$, $s(5,4)$?

Записать формулу, выражающую зависимость длины пути s (в км) от времени движения t (в ч)

Общая формула, связывающая расстояние, скорость и время при равномерном движении, имеет вид: расстояние = скорость × время.

В обозначениях, данных в задаче, эта формула записывается как $s = v \cdot t$, где:
$s$ — длина пути в километрах (км);
$v$ — скорость движения в километрах в час (км/ч);
$t$ — время движения в часах (ч).

По условию, скорость автомобиля «Волга» постоянна и равна $v = 80$ км/ч. Подставим это значение в общую формулу, чтобы получить зависимость пути $s$ от времени $t$ в виде функции $s(t)$:

$s(t) = 80t$

Эта формула показывает, какой путь $s$ в километрах проедет автомобиль за время $t$ в часах.

Ответ: $s(t) = 80t$.

Чему равно s(3), s(5,4)?

Чтобы найти значения $s(3)$ и $s(5,4)$, необходимо подставить в выведенную формулу $s(t) = 80t$ вместо $t$ значения $3$ и $5,4$ соответственно.

1. Вычислим $s(3)$ (путь, пройденный за 3 часа):
$s(3) = 80 \cdot 3 = 240$ (км).

2. Вычислим $s(5,4)$ (путь, пройденный за 5,4 часа):
$s(5,4) = 80 \cdot 5,4 = 432$ (км).

Ответ: $s(3) = 240; s(5,4) = 432$.

629. Построить график функции:

1) $y=3x;$

2) $y=5x;$

3) $y=-4x;$

4) $y=-0,8x.$

Все представленные функции являются линейными функциями вида $y=kx$, которые называются прямой пропорциональностью. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат, то есть через точку (0, 0). Для построения графика прямой достаточно найти координаты еще одной любой точки, принадлежащей этой прямой.

1)

Рассмотрим функцию $y=3x$. Это линейная функция, график которой – прямая. Одна точка нам уже известна – это начало координат (0, 0). Найдем вторую точку. Для этого выберем произвольное значение $x$, отличное от нуля, например, $x=1$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующий $y$:
$y = 3 \cdot 1 = 3$.
Таким образом, мы получили вторую точку с координатами (1, 3). Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (1, 3) и провести через них прямую. Поскольку коэффициент $k=3$ положителен, график будет расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=3x$ – это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 3).

2)

Рассмотрим функцию $y=5x$. Это также прямая пропорциональность, и ее график проходит через начало координат (0, 0). Найдем вторую точку, взяв, например, $x=1$:
$y = 5 \cdot 1 = 5$.
Вторая точка имеет координаты (1, 5). Чтобы построить график, отметим на координатной плоскости точки (0, 0) и (1, 5) и соединим их прямой линией. Поскольку коэффициент $k=5$ положителен, график будет расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=5x$ – это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 5).

3)

Рассмотрим функцию $y=-4x$. Ее график – прямая, проходящая через точку (0, 0). Найдем еще одну точку. Пусть $x=1$:
$y = -4 \cdot 1 = -4$.
Мы получили вторую точку с координатами (1, -4). Для построения графика нужно отметить точки (0, 0) и (1, -4) и провести через них прямую. Так как коэффициент $k=-4$ отрицательный, график будет расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=-4x$ – это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, -4).

4)

Рассмотрим функцию $y=-0,8x$. Ее график – прямая, проходящая через начало координат (0, 0). Найдем вторую точку. Чтобы в расчетах не было десятичных дробей, выберем удобное значение $x$. Например, $x=5$:
$y = -0,8 \cdot 5 = -4$.
Получили вторую точку с координатами (5, -4). Проведем прямую через точки (0, 0) и (5, -4), чтобы получить искомый график функции. Так как коэффициент $k=-0,8$ отрицательный, график будет расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=-0,8x$ – это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (5, -4).

630. Построить график функции:

1) $y=1,5x$;

2) $y=-2,5x$;

3) $y=-0,2x$.

1) $y=1,5x$

Данная функция является прямой пропорциональностью, которая задается формулой вида $y=kx$. В данном случае коэффициент пропорциональности $k=1,5$. Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, которая проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$. Для построения прямой линии достаточно знать две точки. Первая точка нам уже известна — это $(0; 0)$. Найдем вторую точку. Для этого выберем произвольное значение аргумента $x$ (кроме нуля) и вычислим соответствующее ему значение функции $y$. Пусть $x=2$. Тогда $y = 1,5 \cdot 2 = 3$. Таким образом, мы получили вторую точку с координатами $(2; 3)$. Теперь можно построить график: на координатной плоскости отмечаем точки $(0; 0)$ и $(2; 3)$ и проводим через них прямую. Поскольку коэффициент $k=1,5 > 0$, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; 3)$.

2) $y=-2,5x$

Эта функция также является прямой пропорциональностью вида $y=kx$, где коэффициент $k=-2,5$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Для построения графика найдем вторую точку. Возьмем произвольное значение $x$, например, $x=2$. Подставим его в уравнение функции и найдем $y$: $y = -2,5 \cdot 2 = -5$. Следовательно, вторая точка имеет координаты $(2; -5)$. Для построения графика отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(2; -5)$ и проводим через них прямую линию. Так как коэффициент $k=-2,5 < 0$, график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; -5)$.

3) $y=-0,2x$

Данная функция является прямой пропорциональностью вида $y=kx$ с коэффициентом $k=-0,2$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Найдем координаты еще одной точки, принадлежащей этой прямой. Для удобства вычислений выберем значение $x$, при умножении на которое получится целое число. Пусть $x=5$. Тогда $y = -0,2 \cdot 5 = -1$. Мы получили вторую точку с координатами $(5; -1)$. Построим график, отметив на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(5; -1)$ и проведя через них прямую. Поскольку коэффициент $k=-0,2 < 0$, график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(5; -1)$.

631. Построить график функции:

1) $y = 2\frac{1}{2}x;$

2) $y = \frac{1}{4}x;$

3) $y = 0,6x.$

1) Построить график функции $y=2\frac{1}{2}x$.

Данная функция является прямой пропорциональностью вида $y=kx$, где коэффициент $k=2\frac{1}{2}$. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат — точку O(0; 0).

Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки, принадлежащей графику.

Преобразуем смешанное число в десятичную дробь для удобства вычислений: $2\frac{1}{2} = 2.5$. Таким образом, уравнение функции имеет вид $y=2.5x$.

Выберем произвольное значение для $x$, отличное от нуля. Например, пусть $x=2$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 2.5 \cdot 2 = 5$.

Таким образом, мы получили вторую точку с координатами (2; 5).

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (2; 5) и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; 5).

2) Построить график функции $y=\frac{1}{4}x$.

Это также функция прямой пропорциональности вида $y=kx$, где $k=\frac{1}{4}$. Ее график — прямая, проходящая через начало координат O(0; 0).

Найдем вторую точку для построения графика. Чтобы получить целочисленное значение $y$ и избежать неточностей при построении, выберем значение $x$, кратное знаменателю дроби, то есть 4. Пусть $x=4$.

Найдем соответствующее значение $y$: $y = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Получили вторую точку с координатами (4; 1).

Проведем прямую через точки (0; 0) и (4; 1). Это и есть искомый график функции $y=\frac{1}{4}x$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (4; 1).

3) Построить график функции $y=0.6x$.

Данная функция является прямой пропорциональностью вида $y=kx$, где $k=0.6$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат O(0; 0).

Для нахождения второй точки представим коэффициент $k$ в виде обыкновенной дроби: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Функция имеет вид $y=\frac{3}{5}x$.

Выберем удобное значение $x$, кратное 5, чтобы $y$ был целым. Пусть $x=5$.

Найдем соответствующее значение $y$: $y = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$.

Получили вторую точку с координатами (5; 3).

Проведем прямую через точки (0; 0) и (5; 3). Эта прямая будет графиком функции $y=0.6x$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (5; 3).