Страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

долгота

дня, мин

а)

y

x

б)

y

x

месяцы

Рис. 24

Рис. 25

617. На рисунке 24 изображён график зависимости долготы дня от времени года. На оси абсцисс отмечены номера месяцев. По оси ординат отложена долгота дня, начиная с первого числа первого месяца.

1) В каком месяце долгота дня первого числа равна 600 мин; 750 мин; 850 мин?

2) В какое время года долгота первого дня месяца больше 700 мин; меньше 600 мин?

3) Какова долгота дня в первый день января; марта; мая; июля; октября?

1) Чтобы определить, в каком месяце долгота дня первого числа достигает определённых значений, мы находим эти значения на вертикальной оси (ось ординат) и смотрим, какому номеру месяца на горизонтальной оси (ось абсцисс) они соответствуют.

• Долгота дня равна 600 мин: Находим на оси ординат отметку 600. Проведя горизонтальную линию до графика, видим, что она пересекает точку, соответствующую 2-му месяцу ($x=2$).
• Долгота дня равна 750 мин: Находим на оси ординат отметку 750 (посередине между 700 и 800). Соответствующая точка на графике имеет абсциссу $x=4$, что соответствует 4-му месяцу.
• Долгота дня равна 850 мин: Находим на оси ординат отметку 850 (посередине между 800 и 900). Соответствующая точка на графике имеет абсциссу $x=8$, что соответствует 8-му месяцу.

Ответ: Долгота дня первого числа равна 600 мин во 2-м месяце (феврале); 750 мин — в 4-м месяце (апреле); 850 мин — в 8-м месяце (августе).

2) Чтобы определить, в какое время года долгота дня была больше или меньше определённых значений, мы находим на графике соответствующие участки.

• Больше 700 мин: Мы ищем точки на графике, которые расположены выше горизонтальной линии $y=700$. Анализируя отмеченные точки для каждого месяца, видим, что это условие выполняется для месяцев с 4-го по 9-й включительно. В 4-м месяце долгота дня составляет 750 мин, а в 9-м — 800 мин. В 10-м месяце она равна ровно 700 мин, поэтому этот месяц не включается.
• Меньше 600 мин: Мы ищем точки на графике, расположенные ниже горизонтальной линии $y=600$. Этому условию соответствуют 1-й месяц (долгота дня около 540 мин) и 12-й месяц (долгота дня около 580 мин). Во 2-м месяце долгота дня равна ровно 600 мин, поэтому он не включается.

Ответ: Долгота первого дня месяца больше 700 мин в период с 4-го месяца (апрель) по 9-й месяц (сентябрь); меньше 600 мин — в 1-м (январе) и 12-м (декабре) месяцах.

3) Чтобы найти долготу дня в первый день конкретного месяца, мы находим номер этого месяца на оси абсцисс и определяем соответствующее ему значение на оси ординат.

• Январь (1-й месяц): Для $x=1$ значение на графике находится между 500 и 600, примерно на уровне 540 мин.
• Март (3-й месяц): Для $x=3$ значение на графике находится между 600 и 700, ближе к 700, примерно 680 мин.
• Май (5-й месяц): Для $x=5$ значение на графике находится между 800 и 900, ближе к 800, примерно 840 мин.
• Июль (7-й месяц): Для $x=7$ значение на графике очень близко к максимальному значению 900, примерно 890 мин.
• Октябрь (10-й месяц): Для $x=10$ точка на графике точно соответствует значению 700 мин.

Ответ: Долгота дня в первый день января — приблизительно 540 мин; марта — приблизительно 680 мин; мая — приблизительно 840 мин; июля — приблизительно 890 мин; октября — 700 мин.

618. Функция $y(x)$ задана графиком (рис. 25, а).

1) Найти $y(0)$; $y(2)$; $y(4)$; $y(-1)$.

2) При каких значениях $x$ значение функции равно 1; 2; 0?

3) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции положительно.

4) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции отрицательно.

a)

1) Найти $y(0)$; $y(2)$; $y(4)$; $y(-1)$.

Чтобы найти значение функции $y(x)$ при конкретном значении аргумента $x$ по графику, необходимо найти точку на оси абсцисс ($Ox$), соответствующую этому значению $x$, затем подняться или опуститься до пересечения с линией графика и от этой точки провести горизонтальную линию до оси ординат ($Oy$). Значение на оси $Oy$ и будет искомым значением функции.

• Для $x=0$: График пересекает ось $y$ в точке, где $y=1$. Таким образом, $y(0)=1$.
• Для $x=2$: График достигает своей максимальной высоты (вершины). В этой точке значение функции равно $2$. Таким образом, $y(2)=2$.
• Для $x=4$: Находим на графике точку с абсциссой $4$. Ордината этой точки равна $1$. Таким образом, $y(4)=1$.
• Для $x=-1$: Находим на графике точку с абсциссой $-1$. Ордината этой точки находится ниже оси $x$, примерно на четверть единичного отрезка вниз. Таким образом, $y(-1) \approx -0.25$.

Ответ: $y(0)=1$; $y(2)=2$; $y(4)=1$; $y(-1) \approx -0.25$.

2) При каких значениях $x$ значение функции равно 1; 2; 0?

Чтобы найти значения $x$, для которых функция принимает определённое значение, нужно провести горизонтальную линию на этом уровне и определить абсциссы всех точек пересечения этой линии с графиком.

• $y(x)=1$: Проводим горизонтальную линию $y=1$. Линия пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны $0$ и $4$.
• $y(x)=2$: Проводим горизонтальную линию $y=2$. Линия касается графика в его вершине, абсцисса которой равна $2$.
• $y(x)=0$: Находим точки, в которых график пересекает ось $Ox$ (ось абсцисс). Это происходит в точках, которые не являются целыми числами. По графику можно оценить их приблизительные значения: $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$.

Ответ: значение функции равно $1$ при $x=0$ и $x=4$; равно $2$ при $x=2$; равно $0$ при $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$.

3) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции положительно.

Значение функции является положительным ($y > 0$), когда ее график находится выше оси абсцисс ($Ox$). Судя по графику, это происходит на интервале между $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$.

Можно выбрать любые значения $x$ из этого интервала. Например, $x=1$, $x=2.5$, $x=4$.

Ответ: например, при $x=1$, $x=2.5$, $x=4$.

4) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции отрицательно.

Значение функции является отрицательным ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси абсцисс ($Ox$). Судя по графику, это происходит при $x < -0.8$ и при $x > 4.8$.

Можно выбрать любые значения $x$ из этих областей. Например, $x=-1$, $x=5$, $x=6$.

Ответ: например, при $x=-1$, $x=5$, $x=6$.

619. Функция $y(x)$ задана графиком (рис. 25, б).

1) Найти $y(0)$, $y(-2)$, $y(1)$, $y(3)$.

2) При каком значении $x$ значение функции равно 2; 0; -1; 1?

3) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции положительно.

4) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции отрицательно.

б)

$y$

$x$

Рис. 25

1) Найти $y(0)$, $y(-2)$, $y(1)$, $y(3)$.

Чтобы найти значение функции $y(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо найти на графике точку с этой абсциссой (координатой $x$) и определить ее ординату (координату $y$).
- При $x = 0$ находим на оси $x$ точку $0$. Точка на графике с этой абсциссой имеет ординату $2$. Следовательно, $y(0) = 2$.
- При $x = -2$ точка на графике лежит на оси $x$, значит, ее ордината равна $0$. Следовательно, $y(-2) = 0$.
- При $x = 1$ точка на графике имеет ординату $1$. Следовательно, $y(1) = 1$.
- При $x = 3$ точка на графике имеет ординату $-1$. Следовательно, $y(3) = -1$.
Ответ: $y(0) = 2$, $y(-2) = 0$, $y(1) = 1$, $y(3) = -1$.

2) При каком значении $x$ значение функции равно $2; 0; -1; 1$?

Чтобы найти значения $x$, при которых функция равна заданному числу, нужно найти на графике точки с этой ординатой (координатой $y$) и определить их абсциссы (координаты $x$).
- Значение функции равно $2$ ($y=2$) в точке, где $x=0$.
- Значение функции равно $0$ ($y=0$) в точках пересечения графика с осью $x$. Это происходит при $x=-2$, $x=2$ и $x=4$.
- Значение функции равно $-1$ ($y=-1$) в точке, где $x=3$.
- Значение функции равно $1$ ($y=1$) в точках, где $x=-1$ и $x=1$.
Ответ: значение функции равно $2$ при $x=0$; равно $0$ при $x=-2, x=2, x=4$; равно $-1$ при $x=3$; равно $1$ при $x=-1, x=1$.

3) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции положительно.

Значение функции положительно ($y>0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс ($x$). Из графика видно, что это происходит на интервале $(-2, 2)$.
Любое значение $x$ из этого интервала будет решением. Например, $x=-1$, $x=0$, $x=1,5$.
Ответ: Например, $x=-1$; $x=0$; $x=1$.

4) Назвать несколько значений $x$, при которых значение функции отрицательно.

Значение функции отрицательно ($y<0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс ($x$). Из графика видно, что это происходит на интервале $(2, 4)$.
Любое значение $x$ из этого интервала будет решением. Например, $x=2,5$, $x=3$, $x=3,5$.
Ответ: Например, $x=2,5$; $x=3$; $x=3,5$.

620. Дана функция $y = x^2 - 5x + 6$. Выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами:

1) (1; 2);

2) (-2; 0);

3) (-2; 20);

4) (3; 0).

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^2 - 5x + 6$. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) (1; 2)

Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в уравнение функции:

$2 = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6$

$2 = 1 - 5 + 6$

$2 = 2$

Получено верное равенство, следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: принадлежит.

2) (-2; 0)

Подставляем $x = -2$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 6$

$0 = 4 + 10 + 6$

$0 = 20$

Получено неверное равенство, следовательно, точка не принадлежит графику.

Ответ: не принадлежит.

3) (-2; 20)

Подставляем $x = -2$ и $y = 20$ в уравнение функции:

$20 = (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 6$

$20 = 4 + 10 + 6$

$20 = 20$

Получено верное равенство, следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: принадлежит.

4) (3; 0)

Подставляем $x = 3$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6$

$0 = 9 - 15 + 6$

$0 = 0$

Получено верное равенство, следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: принадлежит.