Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Прочитать запись: $y(x) = 2x - 3$. Как называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$? Как называют переменную $x$; переменную $y$?

Прочитать запись: $y(x) = 2x - 3$.

Данная запись читается как: «игрек от икс равен два икс минус три». Она определяет правило, по которому для каждого значения переменной $x$ можно найти соответствующее ему значение переменной $y$.

Ответ: «Игрек от икс равен два икс минус три».

Как называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$?

Зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$, называется функциональной зависимостью или функцией. В данном случае формула $y = 2x - 3$ задает линейную функцию, так как она имеет общий вид $y = kx + b$, где коэффициент $k=2$, а свободный член $b=-3$.

Ответ: Функциональная зависимость или функция (в данном случае — линейная функция).

Как называют переменную $x$; переменную $y$?

Переменная $x$ в этом выражении является независимой, так как мы можем подставлять в формулу любое ее значение (из области определения). Поэтому $x$ называют независимой переменной или аргументом функции.

Переменная $y$ является зависимой, поскольку ее значение полностью определяется значением переменной $x$. Поэтому $y$ называют зависимой переменной или значением функции.

Ответ: Переменная $x$ — независимая переменная (аргумент); переменная $y$ — зависимая переменная (значение функции).

2. Назвать и охарактеризовать каждый из трёх основных способов задания функции.

Основными способами задания функции являются аналитический, табличный и графический.

1. Аналитический способ

Этот способ заключается в задании функции с помощью математической формулы, которая устанавливает зависимость между независимой переменной (аргументом) $x$ и зависимой переменной (значением функции) $y$. Формула указывает, какие вычислительные операции нужно произвести над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции. Например, $y = x^2 + 2x - 1$ или $f(x) = \sqrt{x-3}$.

Характеристика:

• Компактность и точность: Формула кратко и однозначно определяет функцию для всех значений аргумента из области определения. Позволяет вычислить значение функции с любой требуемой точностью.
• Возможность анализа: Этот способ наиболее удобен для выполнения математических операций и исследования свойств функции (нахождения производной, интеграла, пределов, исследования на монотонность, экстремумы и т.д.).
• Недостаточная наглядность: По виду формулы не всегда легко представить себе поведение функции и ее график, особенно если формула сложная.

Ответ: Аналитический способ задания функции — это представление зависимости между переменными в виде математической формулы $y = f(x)$.

2. Табличный способ

При этом способе функция задается с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента $x$ из некоторого конечного множества указывается соответствующее ему значение функции $y$.

Пример таблицы для функции $y = x^2$:

Характеристика:

• Простота использования: Позволяет сразу найти значение функции для указанных в таблице аргументов без каких-либо вычислений.
• Дискретность и неполнота: Функция определена только для тех значений аргумента, которые есть в таблице. Поведение функции между этими точками остается неизвестным, и для аргументов вне таблицы значение функции найти невозможно.
• Применение на практике: Часто используется при регистрации результатов экспериментов, наблюдений, когда зависимость фиксируется для отдельных, дискретных значений (например, таблицы логарифмов, таблицы метеорологических данных).

Ответ: Табличный способ задания функции — это представление зависимости в виде таблицы, содержащей пары соответствующих значений аргумента и функции.

3. Графический способ

Функция задается с помощью ее графика. Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, абсциссы ($x$) которых равны значениям аргумента из области определения функции, а ординаты ($y$) — соответствующим значениям функции.

Характеристика:

• Наглядность: График дает целостное визуальное представление о поведении и свойствах функции: ее возрастании и убывании, точках максимума и минимума, непрерывности, периодичности и т.д. Это самый наглядный способ задания функции.
• Неточность: Значения функции, найденные по графику, как правило, являются приблизительными. Точность ограничена масштабом и качеством построения графика.
• Широкое применение: Используется в физике (например, осциллограммы), медицине (электрокардиограммы), экономике и других областях для визуализации процессов и зависимостей.

Ответ: Графический способ задания функции — это представление зависимости в виде графика, то есть множества всех точек $(x, f(x))$ на координатной плоскости.

3. Что называется графиком функции?

Графиком функции называют геометрическое представление этой функции на координатной плоскости. Чтобы построить график, для каждого значения независимой переменной (аргумента) $x$ из области определения функции находят соответствующее значение зависимой переменной (функции) $y$. Полученные пары чисел $(x, y)$ рассматриваются как координаты точек на плоскости.

Более строго, пусть задана функция $y = f(x)$. Областью определения этой функции является некоторое множество $D(f)$.

Графиком функции $f$ является множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$, а ординаты — соответствующим значениям функции $y = f(x)$.

Таким образом, точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $f$ тогда и только тогда, когда $x_0$ принадлежит области определения функции и выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

В виде множества, график $G$ функции $f$ определяется как: $G = \{ (x, y) \mid x \in D(f), y = f(x) \}$

Например, для линейной функции $y = 2x + 1$, точки $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(-1, -1)$ принадлежат ее графику. Совокупность всех таких точек образует прямую линию на координатной плоскости.

Ответ: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента из области определения функции, а ординаты — соответствующими значениями функции.

1. Найти значение выражения:

1) $7x-3$ при $x=0$;

2) $x^2+1$ при $x=-2$;

3) $-x^2+3$ при $x=-3$;

4) $\frac{2}{x}-5$ при $x=\frac{1}{2}$.

1) Чтобы найти значение выражения $7x-3$ при $x=0$, нужно подставить значение $x=0$ в это выражение.
$7 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.
Ответ: $-3$.

2) Чтобы найти значение выражения $x^2+1$ при $x=-2$, подставим значение $x=-2$ в выражение.
$(-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: $5$.

3) Чтобы найти значение выражения $-x^2+3$ при $x=-3$, подставим $x=-3$ в выражение. Обратите внимание, что в квадрат возводится только $x$, а знак минуса стоит перед ним.
$-(-3)^2 + 3 = -(9) + 3 = -9 + 3 = -6$.
Ответ: $-6$.

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{2}{x}-5$ при $x=\frac{1}{2}$, подставим $x=\frac{1}{2}$ в выражение.
$\frac{2}{\frac{1}{2}} - 5 = 2 \div \frac{1}{2} - 5 = 2 \cdot \frac{2}{1} - 5 = 4 - 5 = -1$.
Ответ: $-1$.

2. На координатной плоскости отметить точки $A(-5; 2)$, $B(0; -3)$, $C(-3; -2)$, $D(4; 0)$.

Для того чтобы отметить точки на координатной плоскости, необходимо использовать их координаты $(x; y)$. Координатная плоскость задается двумя перпендикулярными прямыми — осями координат. Горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось $Ox$), а вертикальная — осью ординат (ось $Oy$). Точка их пересечения называется началом координат и имеет координаты $(0; 0)$.

Первая координата точки, $x$ (абсцисса), показывает смещение от начала координат вдоль оси $Ox$. Положительное значение означает смещение вправо, отрицательное — влево.

Вторая координата точки, $y$ (ордината), показывает смещение от текущего положения вдоль оси $Oy$. Положительное значение означает смещение вверх, отрицательное — вниз.

Рассмотрим каждую точку отдельно:

Координаты точки A: абсцисса $x = -5$, ордината $y = 2$. Чтобы отметить эту точку, начинаем с начала координат $(0; 0)$. Смещаемся на 5 единиц влево по оси $Ox$ (поскольку $x = -5$). Из полученной точки на оси $Ox$ поднимаемся на 2 единицы вверх параллельно оси $Oy$ (поскольку $y = 2$). Отмечаем полученное положение как точку A. Эта точка лежит во второй координатной четверти.

Координаты точки B: абсцисса $x = 0$, ордината $y = -3$. Поскольку абсцисса $x = 0$, точка будет лежать на оси ординат ($Oy$). От начала координат $(0; 0)$ смещаемся на 3 единицы вниз по оси $Oy$ (поскольку $y = -3$). Отмечаем полученное положение на оси $Oy$ как точку B.

Координаты точки C: абсцисса $x = -3$, ордината $y = -2$. От начала координат $(0; 0)$ смещаемся на 3 единицы влево по оси $Ox$ (поскольку $x = -3$). Затем из этой точки опускаемся на 2 единицы вниз параллельно оси $Oy$ (поскольку $y = -2$). Отмечаем полученное положение как точку C. Эта точка лежит в третьей координатной четверти.

Координаты точки D: абсцисса $x = 4$, ордината $y = 0$. Поскольку ордината $y = 0$, точка будет лежать на оси абсцисс ($Ox$). От начала координат $(0; 0)$ смещаемся на 4 единицы вправо по оси $Ox$ (поскольку $x = 4$). Отмечаем полученное положение на оси $Ox$ как точку D.

Графическое представление отмеченных точек на координатной плоскости:

Ответ: Точки A$(-5; 2)$, B$(0; -3)$, C$(-3; -2)$ и D$(4; 0)$ отмечены на координатной плоскости в соответствии с их координатами. Точка A находится во второй координатной четверти, точка B — на отрицательной полуоси ординат, точка C — в третьей координатной четверти, а точка D — на положительной полуоси абсцисс.

607. (Устно.) Прочитать следующие выражения, назвать независимую и зависимую переменные:

$s(t)=120t$; $p(x)=17,8x$; $C(R)=2\pi R$; $m(V)=7,8V$;

$y(x)=\frac{1}{7}x+3$; $t(s)=\frac{s}{120}$; $x(y)=7y-21$; $f(x)=2-5x^2$.

В каждом из выражений задана функциональная зависимость, где значение одной переменной (зависимой) определяется значением другой переменной (независимой). Независимая переменная, или аргумент, — это та, значение которой мы можем выбирать произвольно (в пределах области определения). Зависимая переменная, или функция, — это та, значение которой вычисляется на основе выбранного значения независимой переменной. В записи вида $y(x)$ переменная $x$ является независимой, а $y$ — зависимой.

$s(t) = 120t$
Выражение читается: «эс от тэ равно сто двадцать тэ». Здесь значение переменной $s$ зависит от значения переменной $t$.
Ответ: Независимая переменная — $t$, зависимая переменная — $s$.

$p(x) = 17,8x$
Выражение читается: «пэ от икс равно семнадцать целых восемь десятых икс». Здесь значение переменной $p$ зависит от значения переменной $x$.
Ответ: Независимая переменная — $x$, зависимая переменная — $p$.

$C(R) = 2\pi R$
Выражение читается: «цэ от эр равно два пи эр». Это формула длины окружности, где значение длины $C$ зависит от значения радиуса $R$.
Ответ: Независимая переменная — $R$, зависимая переменная — $C$.

$m(V) = 7,8V$
Выражение читается: «эм от вэ равно семь целых восемь десятых вэ». Это формула массы тела, где значение массы $m$ зависит от значения объема $V$.
Ответ: Независимая переменная — $V$, зависимая переменная — $m$.

$y(x) = \frac{1}{7}x + 3$
Выражение читается: «игрек от икс равно одна седьмая икс плюс три». Здесь значение переменной $y$ зависит от значения переменной $x$.
Ответ: Независимая переменная — $x$, зависимая переменная — $y$.

$t(s) = \frac{s}{120}$
Выражение читается: «тэ от эс равно эс, деленное на сто двадцать». Здесь значение переменной $t$ зависит от значения переменной $s$.
Ответ: Независимая переменная — $s$, зависимая переменная — $t$.

$x(y) = 7y - 21$
Выражение читается: «икс от игрек равно семь игрек минус двадцать один». Здесь значение переменной $x$ зависит от значения переменной $y$.
Ответ: Независимая переменная — $y$, зависимая переменная — $x$.

$f(x) = 2 - 5x^2$
Выражение читается: «эф от икс равно два минус пять икс в квадрате». Здесь значение функции $f$ зависит от значения переменной $x$.
Ответ: Независимая переменная — $x$, зависимая переменная — $f$.

608. Вычислить значение y при x, равном -2; -1; 0; 1; 2:

1) Для функции $y=3x$ вычислим значения $y$, подставляя заданные значения $x$.

Если $x = -2$, то $y = 3 \cdot (-2) = -6$.

Если $x = -1$, то $y = 3 \cdot (-1) = -3$.

Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 = 0$.

Если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$.

Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: при $x$ равном -2; -1; 0; 1; 2, значения $y$ равны соответственно -6; -3; 0; 3; 6.

2) Для функции $y=-2x$ вычислим значения $y$, подставляя заданные значения $x$.

Если $x = -2$, то $y = -2 \cdot (-2) = 4$.

Если $x = -1$, то $y = -2 \cdot (-1) = 2$.

Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$.

Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1 = -2$.

Если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: при $x$ равном -2; -1; 0; 1; 2, значения $y$ равны соответственно 4; 2; 0; -2; -4.

3) Для функции $y=-x-3$ вычислим значения $y$, подставляя заданные значения $x$.

Если $x = -2$, то $y = -(-2) - 3 = 2 - 3 = -1$.

Если $x = -1$, то $y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.

Если $x = 0$, то $y = -0 - 3 = -3$.

Если $x = 1$, то $y = -1 - 3 = -4$.

Если $x = 2$, то $y = -2 - 3 = -5$.

Ответ: при $x$ равном -2; -1; 0; 1; 2, значения $y$ равны соответственно -1; -2; -3; -4; -5.

4) Для функции $y=20x+4$ вычислим значения $y$, подставляя заданные значения $x$.

Если $x = -2$, то $y = 20 \cdot (-2) + 4 = -40 + 4 = -36$.

Если $x = -1$, то $y = 20 \cdot (-1) + 4 = -20 + 4 = -16$.

Если $x = 0$, то $y = 20 \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4$.

Если $x = 1$, то $y = 20 \cdot 1 + 4 = 20 + 4 = 24$.

Если $x = 2$, то $y = 20 \cdot 2 + 4 = 40 + 4 = 44$.

Ответ: при $x$ равном -2; -1; 0; 1; 2, значения $y$ равны соответственно -36; -16; 4; 24; 44.

609. Функция задана формулой $s = 60t$, где $s$ — путь (в км) и $t$ — время (в ч).

1) Определить $s(2)$, $s(3,5)$, $s(5)$.

2) Определить $t$, если $s = 240$, $s = 300$, $s = 90$.

Функция задана формулой $s = 60t$, где $s$ — это путь в километрах, а $t$ — это время в часах. Эта формула описывает движение с постоянной скоростью 60 км/ч.

1) Определить s(2), s(3,5), s(5).

Чтобы найти значение функции $s$ (путь) при заданных значениях аргумента $t$ (время), необходимо подставить эти значения в формулу $s = 60t$.

При $t = 2$ ч:

$s(2) = 60 \cdot 2 = 120$ (км).

При $t = 3,5$ ч:

$s(3,5) = 60 \cdot 3,5 = 210$ (км).

При $t = 5$ ч:

$s(5) = 60 \cdot 5 = 300$ (км).

Ответ: $s(2) = 120$ км; $s(3,5) = 210$ км; $s(5) = 300$ км.

2) Определить t, если s = 240, s = 300, s = 90.

Чтобы найти значение времени $t$ при заданных значениях пути $s$, необходимо из формулы $s = 60t$ выразить переменную $t$. Для этого разделим обе части уравнения на 60:

$t = \frac{s}{60}$

Теперь подставим заданные значения $s$ в полученную формулу.

При $s = 240$ км:

$t = \frac{240}{60} = 4$ (ч).

При $s = 300$ км:

$t = \frac{300}{60} = 5$ (ч).

При $s = 90$ км:

$t = \frac{90}{60} = 1,5$ (ч).

Ответ: при $s=240$ км, $t=4$ ч; при $s=300$ км, $t=5$ ч; при $s=90$ км, $t=1,5$ ч.

610. Функция задана формулой $y=2x-1$.

1) Вычислить значение $y$ при $x$, равном 10; -4,5; 15; -21.

2) Найти значение $x$, при котором значение $y$ равно -19; 205; $-3\frac{1}{2}$; 0,6; -0,02.

1) Вычислить значение y при x, равном 10; -4,5; 15; -21.

Для того чтобы вычислить значение функции $y$ при заданных значениях $x$, необходимо подставить эти значения в формулу $y = 2x - 1$.

При $x = 10$:
$y = 2 \cdot 10 - 1 = 20 - 1 = 19$

При $x = -4,5$:
$y = 2 \cdot (-4,5) - 1 = -9 - 1 = -10$

При $x = 15$:
$y = 2 \cdot 15 - 1 = 30 - 1 = 29$

При $x = -21$:
$y = 2 \cdot (-21) - 1 = -42 - 1 = -43$

Ответ: при $x = 10$ значение $y = 19$; при $x = -4,5$ значение $y = -10$; при $x = 15$ значение $y = 29$; при $x = -21$ значение $y = -43$.

2) Найти значение x, при котором значение y равно -19; 205; -3 1/2; 0,6; -0,02.

Для того чтобы найти значение аргумента $x$, при котором известна функция $y$, необходимо решить уравнение $y = 2x - 1$ относительно $x$.
Выразим $x$ из формулы:
$y = 2x - 1$
$2x = y + 1$
$x = \frac{y + 1}{2}$

Теперь подставим заданные значения $y$ в полученную формулу.

При $y = -19$:
$x = \frac{-19 + 1}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

При $y = 205$:
$x = \frac{205 + 1}{2} = \frac{206}{2} = 103$

При $y = -3\frac{1}{2} = -3,5$:
$x = \frac{-3,5 + 1}{2} = \frac{-2,5}{2} = -1,25$

При $y = 0,6$:
$x = \frac{0,6 + 1}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$

При $y = -0,02$:
$x = \frac{-0,02 + 1}{2} = \frac{0,98}{2} = 0,49$

Ответ: при $y = -19$ значение $x = -9$; при $y = 205$ значение $x = 103$; при $y = -3\frac{1}{2}$ значение $x = -1,25$; при $y = 0,6$ значение $x = 0,8$; при $y = -0,02$ значение $x = 0,49$.

611. Функция задана формулой $p(x) = \frac{1}{3}(2x+1)$.

1) Найти $p(3)$, $p(-12)$, $p(2,1)$.

2) Найти значение $x$, если $p(x)=0$, $p(x)=2,4$, $p(x)=-9$.

Дана функция, заданная формулой $p(x) = \frac{1}{3}(2x + 1)$.

Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, необходимо подставить это значение вместо $x$ в формулу функции.

Вычислим $p(3)$:
$p(3) = \frac{1}{3}(2 \cdot 3 + 1) = \frac{1}{3}(6 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 7 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Вычислим $p(-12)$:
$p(-12) = \frac{1}{3}(2 \cdot (-12) + 1) = \frac{1}{3}(-24 + 1) = \frac{1}{3} \cdot (-23) = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3}$.

Вычислим $p(2,1)$:
$p(2,1) = \frac{1}{3}(2 \cdot 2,1 + 1) = \frac{1}{3}(4,2 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 5,2 = \frac{5,2}{3} = \frac{52}{30} = \frac{26}{15} = 1\frac{11}{15}$.

Ответ: $p(3) = 2\frac{1}{3}$; $p(-12) = -7\frac{2}{3}$; $p(2,1) = 1\frac{11}{15}$.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает заданное значение, нужно приравнять выражение для $p(x)$ к этому значению и решить полученное уравнение.

Найдем $x$, если $p(x) = 0$:
$\frac{1}{3}(2x + 1) = 0$
Умножим обе части уравнения на 3:
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Найдем $x$, если $p(x) = 2,4$:
$\frac{1}{3}(2x + 1) = 2,4$
Умножим обе части уравнения на 3:
$2x + 1 = 2,4 \cdot 3$
$2x + 1 = 7,2$
$2x = 7,2 - 1$
$2x = 6,2$
$x = \frac{6,2}{2} = 3,1$.

Найдем $x$, если $p(x) = -9$:
$\frac{1}{3}(2x + 1) = -9$
Умножим обе части уравнения на 3:
$2x + 1 = -9 \cdot 3$
$2x + 1 = -27$
$2x = -27 - 1$
$2x = -28$
$x = \frac{-28}{2} = -14$.

Ответ: при $p(x)=0$, $x=-0,5$; при $p(x)=2,4$, $x=3,1$; при $p(x)=-9$, $x=-14$.