Страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

612. Функция задана формулой $f(x)=2-5x^2$. Верно ли равенство:

1) $f(-2)=-18$;

2) $f\left(-\frac{1}{5}\right)=1\frac{4}{5}$;

3) $f(4)=78$;

4) $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}$?

Для проверки верности равенств необходимо подставить значение аргумента $x$ из скобок в формулу функции $f(x) = 2 - 5x^2$ и сравнить полученный результат с числом, стоящим в правой части равенства.

1) Проверим равенство $f(-2) = -18$.
Подставим $x = -2$ в формулу функции:
$f(-2) = 2 - 5 \cdot (-2)^2 = 2 - 5 \cdot 4 = 2 - 20 = -18$.
Полученное значение совпадает со значением в равенстве.
Ответ: да, верно.

2) Проверим равенство $f(-\frac{1}{5}) = 1\frac{4}{5}$.
Подставим $x = -\frac{1}{5}$ в формулу функции:
$f(-\frac{1}{5}) = 2 - 5 \cdot (-\frac{1}{5})^2 = 2 - 5 \cdot \frac{1}{25} = 2 - \frac{5}{25} = 2 - \frac{1}{5}$.
Приведем к общему знаменателю: $2 - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.
Полученное значение совпадает со значением в равенстве.
Ответ: да, верно.

3) Проверим равенство $f(4) = 78$.
Подставим $x = 4$ в формулу функции:
$f(4) = 2 - 5 \cdot 4^2 = 2 - 5 \cdot 16 = 2 - 80 = -78$.
Полученное значение $-78$ не совпадает со значением в равенстве $78$.
Ответ: нет, неверно.

4) Проверим равенство $f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}$.
Подставим $x = \frac{1}{2}$ в формулу функции:
$f(\frac{1}{2}) = 2 - 5 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 2 - 5 \cdot \frac{1}{4} = 2 - \frac{5}{4}$.
Приведем к общему знаменателю: $2 - \frac{5}{4} = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$.
Полученное значение $\frac{3}{4}$ не совпадает со значением в равенстве $-\frac{3}{4}$.
Ответ: нет, неверно.

613. Функция задана формулой $y(x)=2x^2+5x$.

1) Найти $y(0)$, $y(-1)$, $y(2)$, $y(\frac{1}{2})$, $y(-\frac{3}{5})$.

2) Верны ли равенства: $y(-3)=3$, $y(-\frac{1}{2})=-2$, $y(1)=9$, $y(2)=-18$?

Данная функция задана формулой $y(x) = 2x^2 + 5x$.

1) Найти $y(0)$, $y(-1)$, $y(2)$, $y\left(\frac{1}{2}\right)$, $y\left(-\frac{3}{5}\right)$

Для нахождения значения функции при заданном значении аргумента $x$, необходимо подставить это значение в формулу функции и выполнить вычисления.

• При $x=0$:

  $y(0) = 2(0)^2 + 5(0) = 2 \cdot 0 + 0 = 0$

• При $x=-1$:

  $y(-1) = 2(-1)^2 + 5(-1) = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$

• При $x=2$:

  $y(2) = 2(2)^2 + 5(2) = 2 \cdot 4 + 10 = 8 + 10 = 18$

• При $x=\frac{1}{2}$:

  $y\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = \frac{2}{4} + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

• При $x=-\frac{3}{5}$:

  $y\left(-\frac{3}{5}\right) = 2\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + 5\left(-\frac{3}{5}\right) = 2 \cdot \frac{9}{25} - \frac{15}{5} = \frac{18}{25} - 3 = \frac{18}{25} - \frac{75}{25} = -\frac{57}{25}$

Ответ: $y(0)=0$; $y(-1)=-3$; $y(2)=18$; $y\left(\frac{1}{2}\right)=3$; $y\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{57}{25}$.

2) Верны ли равенства: $y(-3)=3$, $y\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$, $y(1)=9$, $y(2)=-18$?

Для проверки каждого равенства необходимо вычислить значение функции в указанной точке и сравнить его с предложенным значением.

• Проверка равенства $y(-3)=3$:

  Вычисляем $y(-3)$: $y(-3) = 2(-3)^2 + 5(-3) = 2 \cdot 9 - 15 = 18 - 15 = 3$.

  Результат $3$ совпадает с предложенным значением. Следовательно, равенство $y(-3)=3$ верно.

• Проверка равенства $y\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$:

  Вычисляем $y\left(-\frac{1}{2}\right)$: $y\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{4}{2} = -2$.

  Результат $-2$ совпадает с предложенным значением. Следовательно, равенство $y\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$ верно.

• Проверка равенства $y(1)=9$:

  Вычисляем $y(1)$: $y(1) = 2(1)^2 + 5(1) = 2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7$.

  Результат $7$ не совпадает с предложенным значением $9$ ($7 \neq 9$). Следовательно, равенство $y(1)=9$ неверно.

• Проверка равенства $y(2)=-18$:

  Вычисляем $y(2)$: $y(2) = 2(2)^2 + 5(2) = 2 \cdot 4 + 10 = 8 + 10 = 18$.

  Результат $18$ не совпадает с предложенным значением $-18$ ($18 \neq -18$). Следовательно, равенство $y(2)=-18$ неверно.

Ответ: Равенства $y(-3)=3$ и $y\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$ верны, а равенства $y(1)=9$ и $y(2)=-18$ неверны.

614. (Устно.) Следующая таблица выражает зависимость атмосферного давления $p$ от высоты $h$ над уровнем моря:

h, км: 0, 0,5, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20

p, мм рт. ст.: 760,0, 716,0, 674,0, 596,1, 525,7, 462,2, 404,8, 198,1, 40,9

1) Назвать давление на высоте 1 км, 3 км, 5 км, 10 км.

Для ответа на этот вопрос необходимо найти в таблице заданные значения высоты $h$ (в километрах) и посмотреть, какое значение атмосферного давления $p$ (в мм рт. ст.) им соответствует.

Анализируем таблицу:

- Находим в верхней строке значение высоты $h = 1$ км. В ячейке под ним, в строке давления $p$, указано значение 674,0.

- Для высоты $h = 3$ км, соответствующее давление $p$ равно 525,7 мм рт. ст.

- Для высоты $h = 5$ км, соответствующее давление $p$ равно 404,8 мм рт. ст.

- Для высоты $h = 10$ км, соответствующее давление $p$ равно 198,1 мм рт. ст.

Ответ: на высоте 1 км давление составляет 674,0 мм рт. ст., на высоте 3 км — 525,7 мм рт. ст., на высоте 5 км — 404,8 мм рт. ст., на высоте 10 км — 198,1 мм рт. ст.

2) На какой высоте над уровнем моря давление равно 760,0 мм рт. ст., 462,2 мм рт. ст., 40,9 мм рт. ст.?

Для ответа на этот вопрос нужно выполнить обратную операцию: найти в таблице заданные значения давления $p$ и определить, на какой высоте $h$ они наблюдаются.

Анализируем таблицу:

- Находим в нижней строке значение давления $p = 760,0$ мм рт. ст. В ячейке над ним, в строке высоты $h$, указано значение 0 км, что соответствует уровню моря.

- Для давления $p = 462,2$ мм рт. ст., соответствующая высота $h$ равна 4 км.

- Для давления $p = 40,9$ мм рт. ст., соответствующая высота $h$ равна 20 км.

Ответ: давление 760,0 мм рт. ст. наблюдается на высоте 0 км, давление 462,2 мм рт. ст. — на высоте 4 км, а давление 40,9 мм рт. ст. — на высоте 20 км.

615. (Устно.) Результаты измерений температуры воздуха за сутки даны в следующей таблице:

Время, ч: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

Температура, °С: -1, 1, -3, -4, $2\frac{1}{2}$, 5, 8, $10\frac{1}{2}$, 11, 9, 6, $3\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{2}$

1) Назвать температуру в 6 ч, 18 ч, 24 ч.

2) В какое время температура была равна +1°С, -4°С, 11°С?

1) Назвать температуру в 6 ч, 18 ч, 24 ч.

Для ответа на данный вопрос необходимо найти в верхней строке таблицы ("Время, ч") указанные значения времени и посмотреть, какая температура им соответствует в нижней строке ("Температура, °C").

• Находим в строке времени значение "6". Температура, указанная под этим значением, составляет -4°C.
• Находим в строке времени значение "18". Температура, указанная под этим значением, составляет 9°C.
• Находим в строке времени значение "24". Температура, указанная под этим значением, составляет $1\frac{1}{2}$°C.

Ответ: в 6 ч температура была -4°C, в 18 ч — 9°C, в 24 ч — $1\frac{1}{2}$°C.

2) В какое время температура была равна +1°C, -4°C, 11°C?

Для ответа на данный вопрос необходимо найти в нижней строке таблицы ("Температура, °C") указанные значения температуры и посмотреть, какому времени они соответствуют в верхней строке ("Время, ч").

• Находим в строке температуры значение "+1". Время, указанное над этим значением, составляет 2 ч.
• Находим в строке температуры значение "-4". Время, указанное над этим значением, составляет 6 ч.
• Находим в строке температуры значение "11". Время, указанное над этим значением, составляет 16 ч.

Ответ: температура +1°C была в 2 ч, -4°C — в 6 ч, 11°C — в 16 ч.

616. На рисунке 22 изображён график изменения температуры воздуха в течение суток.

1) По графику найти температуру воздуха в 2 ч, 6 ч, 12 ч, 18 ч.

2) В какое время суток температура воздуха была равна $0^\circ C$, $-4^\circ C$, $1^\circ C$, $3^\circ C$?

3) В какое время суток температура была самой высокой? самой низкой?

4) В какое время суток температура опускалась ниже $0^\circ C$?

1) По графику найти температуру воздуха в 2 ч, 6 ч, 12 ч, 18 ч.

Чтобы найти температуру в определенное время, нужно найти это время на горизонтальной оси (оси времени), подняться от этой точки вертикально до графика, а затем от точки на графике провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси температуры) и определить значение.
- В 2 ч: находим на горизонтальной оси отметку 2. Соответствующая точка на графике показывает температуру $-3^\circ\text{C}$.
- В 6 ч: находим на горизонтальной оси отметку 6. Соответствующая точка на графике показывает температуру $-4^\circ\text{C}$.
- В 12 ч: находим на горизонтальной оси отметку 12. Соответствующая точка на графике показывает температуру $3^\circ\text{C}$.
- В 18 ч: находим на горизонтальной оси отметку 18. Соответствующая точка на графике показывает температуру $4^\circ\text{C}$.
Ответ: в 2 ч температура была $-3^\circ\text{C}$; в 6 ч — $-4^\circ\text{C}$; в 12 ч — $3^\circ\text{C}$; в 18 ч — $4^\circ\text{C}$.

2) В какое время суток температура воздуха была равна 0°C, -4°C, 1°C, 3°C?

Чтобы найти время, когда температура достигала определенного значения, нужно найти это значение на вертикальной оси (оси температуры), провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точек пересечения опустить вертикальные линии на горизонтальную ось (ось времени).
- Температура $0^\circ\text{C}$ была в 8 ч и 23 ч.
- Температура $-4^\circ\text{C}$ была в 6 ч.
- Температура $1^\circ\text{C}$ была в 9 ч и 21 ч.
- Температура $3^\circ\text{C}$ была в 12 ч и 19 ч.
Ответ: температура была равна $0^\circ\text{C}$ в 8 ч и 23 ч; $-4^\circ\text{C}$ в 6 ч; $1^\circ\text{C}$ в 9 ч и 21 ч; $3^\circ\text{C}$ в 12 ч и 19 ч.

3) В какое время суток температура была самой высокой? самой низкой?

Для ответа на этот вопрос нужно найти на графике самую высокую (пик) и самую низкую (впадину) точки и определить, какому времени они соответствуют.
- Самая высокая точка на графике соответствует температуре $5^\circ\text{C}$, которая была достигнута в 16 ч.
- Самая низкая точка на графике соответствует температуре $-4^\circ\text{C}$, которая была достигнута в 6 ч.
Ответ: самая высокая температура ($5^\circ\text{C}$) была в 16 ч, а самая низкая ($-4^\circ\text{C}$) — в 6 ч.

4) В какое время суток температура опускалась ниже 0°C?

Температура была ниже $0^\circ\text{C}$ в те промежутки времени, когда линия графика расположена ниже горизонтальной оси (оси времени). Из пункта 2 известно, что температура равнялась $0^\circ\text{C}$ в 8 ч и в 23 ч.
Анализируя график, видим, что температура была отрицательной (ниже $0^\circ\text{C}$) в двух временных интервалах:
- С начала суток (0 ч) до 8 ч.
- С 23 ч до конца суток (24 ч).
Ответ: температура опускалась ниже $0^\circ\text{C}$ с 0 часов до 8 часов и с 23 часов до 24 часов.