Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

603. Построить прямую, проходящую через точки $A(-2; 3)$ и $B(-2; -1)$. Чему равны абсциссы точек, лежащих на прямой $AB$?

Построить прямую, проходящую через точки A(-2; 3) и B(-2; -1).

Для построения прямой в прямоугольной системе координат выполним следующие шаги:
1. Отметим на координатной плоскости точку $A$ с координатами $(-2; 3)$. Для этого от начала координат (точки $O(0;0)$) нужно отступить на 2 единицы влево по оси абсцисс ($Ox$) и на 3 единицы вверх по оси ординат ($Oy$).
2. Аналогично отметим точку $B$ с координатами $(-2; -1)$. Для этого от начала координат отступаем на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 1 единицу вниз по оси $Oy$.
3. Соединим точки $A$ и $B$ прямой линией.
Поскольку абсциссы (первые координаты) точек $A$ и $B$ одинаковы и равны -2, то построенная прямая является вертикальной линией, параллельной оси ординат ($Oy$) и проходящей через значение -2 на оси абсцисс.
Ответ: Построена прямая, которая является вертикальной линией, параллельной оси ординат $Oy$ и описывается уравнением $x=-2$.

Чему равны абсциссы точек, лежащих на прямой AB?

Абсцисса — это координата точки по горизонтальной оси $Ox$.
Координаты заданных точек: $A(-2; 3)$ и $B(-2; -1)$.
Абсцисса точки $A$ равна -2.
Абсцисса точки $B$ также равна -2.
Поскольку прямая проходит через эти две точки, у которых одинаковая абсцисса, то все без исключения точки, лежащие на этой прямой, будут иметь ту же самую абсциссу.
Любая точка на прямой $AB$ имеет координаты вида $(-2; y)$, где $y$ — любое действительное число.
Таким образом, абсцисса любой точки, лежащей на прямой $AB$, всегда равна -2.
Ответ: -2.

604. Даны точки $A(5; 3)$, $B(-1; -2)$, $C(0; 4)$, $D(-2; 0)$, $E(-2; 3)$.

Построить точки, симметричные им относительно:

а) оси $Ox$;

б) оси $Oy$;

в) начала координат.

Определить координаты полученных точек.

Даны точки: A$(5; 3)$, B$(-1; -2)$, C$(0; 4)$, D$(-2; 0)$, E$(-2; 3)$.

Для решения задачи воспользуемся правилами симметричного отображения точек на координатной плоскости.

а)

При симметрии точки относительно оси абсцисс ($Ox$) ее абсцисса ($x$) сохраняется, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x; -y)$.

Найдем координаты точек, симметричных данным относительно оси $Ox$, обозначив их индексом 1:

Для A$(5; 3)$ симметричной будет точка A₁$(5; -3)$.
Для B$(-1; -2)$ симметричной будет точка B₁$(-1; -(-2))$, то есть B₁$(-1; 2)$.
Для C$(0; 4)$ симметричной будет точка C₁$(0; -4)$.
Для D$(-2; 0)$ симметричной будет точка D₁$(-2; -0)$, то есть D₁$(-2; 0)$. Так как точка D лежит на оси симметрии, она отображается сама в себя.
Для E$(-2; 3)$ симметричной будет точка E₁$(-2; -3)$.

Ответ: A₁$(5; -3)$, B₁$(-1; 2)$, C₁$(0; -4)$, D₁$(-2; 0)$, E₁$(-2; -3)$.

б)

При симметрии точки относительно оси ординат ($Oy$) ее ордината ($y$) сохраняется, а абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$.

Найдем координаты точек, симметричных данным относительно оси $Oy$, обозначив их индексом 2:

Для A$(5; 3)$ симметричной будет точка A₂$(-5; 3)$.
Для B$(-1; -2)$ симметричной будет точка B₂$(-(-1); -2)$, то есть B₂$(1; -2)$.
Для C$(0; 4)$ симметричной будет точка C₂$(-0; 4)$, то есть C₂$(0; 4)$. Так как точка C лежит на оси симметрии, она отображается сама в себя.
Для D$(-2; 0)$ симметричной будет точка D₂$(-(-2); 0)$, то есть D₂$(2; 0)$.
Для E$(-2; 3)$ симметричной будет точка E₂$(-(-2); 3)$, то есть E₂$(2; 3)$.

Ответ: A₂$(-5; 3)$, B₂$(1; -2)$, C₂$(0; 4)$, D₂$(2; 0)$, E₂$(2; 3)$.

в)

При симметрии точки относительно начала координат $O(0; 0)$ обе ее координаты (и абсцисса $x$, и ордината $y$) меняют свои знаки на противоположные. Таким образом, точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y)$.

Найдем координаты точек, симметричных данным относительно начала координат, обозначив их индексом 3:

Для A$(5; 3)$ симметричной будет точка A₃$(-5; -3)$.
Для B$(-1; -2)$ симметричной будет точка B₃$(-(-1); -(-2))$, то есть B₃$(1; 2)$.
Для C$(0; 4)$ симметричной будет точка C₃$(-0; -4)$, то есть C₃$(0; -4)$.
Для D$(-2; 0)$ симметричной будет точка D₃$(-(-2); -0)$, то есть D₃$(2; 0)$.
Для E$(-2; 3)$ симметричной будет точка E₃$(-(-2); -3)$, то есть E₃$(2; -3)$.

Ответ: A₃$(-5; -3)$, B₃$(1; 2)$, C₃$(0; -4)$, D₃$(2; 0)$, E₃$(2; -3)$.

605. На плоскости расположены точки $A(2; 7)$, $B(3; 4)$, $C(2; -7)$, $D(-3; 4)$, $E(-2; 7)$. Определить, какая пара точек симметрична относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат;

3) начала координат.

1) оси абсцисс

Две точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ называются симметричными относительно оси абсцисс (оси Ox), если их абсциссы равны, а ординаты являются противоположными числами. Математически это выражается условиями: $x_1 = x_2$ и $y_1 = -y_2$.

Переберём данные точки: A(2; 7), B(3; 4), C(2; -7), D(-3; 4), E(-2; 7), чтобы найти пару, удовлетворяющую этим условиям.

Сравним точки A(2; 7) и C(2; -7):

• Их абсциссы равны: $2 = 2$.
• Их ординаты противоположны: $7 = -(-7)$.

Следовательно, точки A и C симметричны относительно оси абсцисс.

Ответ: A и C.

2) оси ординат

Две точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ называются симметричными относительно оси ординат (оси Oy), если их ординаты равны, а абсциссы являются противоположными числами. Математически это выражается условиями: $y_1 = y_2$ и $x_1 = -x_2$.

Рассмотрим данные точки: A(2; 7), B(3; 4), C(2; -7), D(-3; 4), E(-2; 7).

Найдем пары, удовлетворяющие этим условиям.

Первая пара: B(3; 4) и D(-3; 4).

• Их ординаты равны: $4 = 4$.
• Их абсциссы противоположны: $3 = -(-3)$.

Точки B и D симметричны относительно оси ординат.

Вторая пара: A(2; 7) и E(-2; 7).

• Их ординаты равны: $7 = 7$.
• Их абсциссы противоположны: $2 = -(-2)$.

Точки A и E также симметричны относительно оси ординат.

Ответ: B и D; A и E.

3) начала координат

Две точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ называются симметричными относительно начала координат O(0; 0), если их соответствующие координаты являются противоположными числами. Математически это выражается условиями: $x_1 = -x_2$ и $y_1 = -y_2$.

Среди данных точек A(2; 7), B(3; 4), C(2; -7), D(-3; 4), E(-2; 7) ищем пару, которая удовлетворяет этим условиям.

Сравним точки C(2; -7) и E(-2; 7):

• Их абсциссы противоположны: $2 = -(-2)$.
• Их ординаты противоположны: $-7 = -(7)$.

Следовательно, точки C и E симметричны относительно начала координат.

Ответ: C и E.

606. Квадрат со стороной 4 расположен так, что центр его находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат. Найти координаты вершин квадрата.

По условию задачи, у нас есть квадрат со стороной $a = 4$. Его центр находится в начале координат, то есть в точке $O(0, 0)$, а его стороны параллельны осям координат $Ox$ и $Oy$.

Поскольку центр квадрата находится в начале координат и его стороны параллельны осям, квадрат будет симметричен относительно обеих осей.

Расстояние от центра квадрата до любой из его сторон равно половине длины стороны. В данном случае это расстояние составляет $d = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Это означает, что стороны квадрата лежат на прямых, которые удалены от осей координат на расстояние 2.
Две стороны, параллельные оси $Oy$, будут находиться на прямых $x = 2$ и $x = -2$.
Две стороны, параллельные оси $Ox$, будут находиться на прямых $y = 2$ и $y = -2$.

Вершины квадрата являются точками пересечения этих прямых. Найдем координаты этих вершин:
1. Пересечение прямых $x = 2$ и $y = 2$ дает вершину в первом квадранте с координатами $(2, 2)$.
2. Пересечение прямых $x = -2$ и $y = 2$ дает вершину во втором квадранте с координатами $(-2, 2)$.
3. Пересечение прямых $x = -2$ и $y = -2$ дает вершину в третьем квадранте с координатами $(-2, -2)$.
4. Пересечение прямых $x = 2$ и $y = -2$ дает вершину в четвертом квадранте с координатами $(2, -2)$.

Ответ: Координаты вершин квадрата: $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$, $(2, -2)$.