Страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Числовое значение расстояния $h$ (выраженного в метрах), которое пролетает свободно падающее тело за время $t$ (выраженное в секундах) от начала падения, на практике часто вычисляют по формуле $h=5t^2$. Какое расстояние пролетит свободно падающее тело с момента времени $T$ (от начала движения) за 5 с?

Для решения задачи воспользуемся формулой, указанной в условии. Она связывает расстояние h (в метрах), которое пролетает свободно падающее тело, и время падения t (в секундах):

$$h = 5t^2$$

Нам необходимо найти расстояние, которое тело пролетит за 5 секунд. Для этого подставим в формулу значение времени $t = 5$ с.

Произведем вычисления:

1. Подставляем значение $t=5$ в формулу:

$$h = 5 \cdot (5)^2$$

2. Возводим 5 в квадрат:

$$h = 5 \cdot 25$$

3. Умножаем полученные значения:

$$h = 125$$

Таким образом, за 5 секунд с начала движения тело пролетит 125 метров.

Ответ: 125 м.

5. Даны три последовательных натуральных числа. Произведение первого и второго чисел на 34 меньше квадрата третьего. Найти эти числа.

$x(x+1) = (x+2)^2 - 34$

Пусть первое из трех последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число будет $n+1$, а третье — $n+2$. По определению, натуральные числа — это числа, используемые при счете, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Согласно условию задачи, произведение первого и второго чисел на 34 меньше квадрата третьего числа. Составим математическое уравнение на основе этого условия:
$n(n+1) = (n+2)^2 - 34$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Для этого сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим распределительный закон, а в правой — формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 + n = (n^2 + 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2) - 34$
$n^2 + n = n^2 + 4n + 4 - 34$

Упростим правую часть уравнения:
$n^2 + n = n^2 + 4n - 30$

Перенесем все члены, содержащие переменные, в одну сторону уравнения, а числовые значения — в другую. Для начала вычтем $n^2$ из обеих частей, что приведет к его сокращению:
$n = 4n - 30$

Теперь сгруппируем члены с $n$:
$30 = 4n - n$
$30 = 3n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 3:
$n = \frac{30}{3}$
$n = 10$

Мы нашли первое число. Так как $n=10$ является натуральным числом, оно удовлетворяет условию задачи. Теперь найдем два следующих за ним числа:
Второе число: $n+1 = 10+1 = 11$
Третье число: $n+2 = 10+2 = 12$

Таким образом, искомые три последовательных натуральных числа — это 10, 11 и 12.

Проведем проверку, чтобы убедиться в правильности решения:
Произведение первого и второго чисел: $10 \cdot 11 = 110$.
Квадрат третьего числа: $12^2 = 144$.
Найдем разницу между квадратом третьего числа и произведением первых двух: $144 - 110 = 34$.
Результат совпадает с условием задачи, так как произведение (110) действительно на 34 меньше квадрата третьего числа (144).

Ответ: 10, 11, 12.

6. Доказать, что квадрат нечётного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.

Пусть $n$ — произвольное нечётное число. Требуется доказать, что выражение $n^2 - 1$ делится на 8.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для преобразования нашего выражения:

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Любое нечётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Подставим это представление в полученное произведение:

Первый множитель: $n - 1 = (2k + 1) - 1 = 2k$

Второй множитель: $n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$

Теперь перемножим эти два выражения:

$(n - 1)(n + 1) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)$

Мы получили выражение $4k(k + 1)$. Чтобы доказать, что оно делится на 8, нам нужно показать, что произведение $k(k + 1)$ делится на 2.

Выражение $k(k + 1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных целых чисел одно число обязательно является чётным.

• Если $k$ — чётное, то произведение $k(k+1)$ очевидно чётно.
• Если $k$ — нечётное, то $k+1$ — чётное, и произведение $k(k+1)$ снова чётно.

Следовательно, произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.

Таким образом, наше исходное выражение $n^2 - 1$ равно $4k(k + 1)$. Поскольку $k(k+1)$ делится на 2, то всё выражение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.

Это доказывает, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на 1, всегда делится на 8.

Ответ: Утверждение доказано.

7. Доказать, что сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего числа.

Для доказательства утверждения введем алгебраические обозначения. Пусть даны два последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда следующее за ним, большее число, будет $n+1$.

Согласно условию задачи, нам необходимо рассмотреть сумму двух величин:
1. Произведение этих двух чисел: $n \cdot (n+1)$.
2. Большее из этих чисел: $n+1$.

Запишем сумму этих двух величин. Она будет выглядеть так: $n(n+1) + (n+1)$.

Теперь нам нужно доказать, что эта сумма равна квадрату большего числа, то есть $(n+1)^2$. Сформулируем тождество, которое необходимо доказать: $$n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Мы видим, что оба слагаемых, $n(n+1)$ и $(n+1)$, имеют общий множитель $(n+1)$. Вынесем этот общий множитель за скобки: $$n(n+1) + 1 \cdot (n+1) = (n+1)(n+1)$$ Произведение $(n+1)(n+1)$ по определению является квадратом выражения $(n+1)$: $$(n+1)(n+1) = (n+1)^2$$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью равенства: $(n+1)^2 = (n+1)^2$. Это доказывает, что исходное утверждение верно для любой пары последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано.

8. Упростить выражение $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Обозначим исходное выражение буквой $E$:
$E = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$

Чтобы можно было применить формулу разности квадратов, не хватает множителя $(2 - 1)$. Так как $(2 - 1) = 1$, мы можем домножить на него наше выражение, не изменив его значения:
$E = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$

Теперь начнем последовательно сворачивать произведение, применяя формулу к первым двум скобкам:
$(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1$

Подставив результат обратно в выражение, получим:
$E = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$

Снова применяем ту же формулу к первым двум скобкам нового выражения:
$(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$

Этот процесс продолжается по цепочке. Каждое новое применение формулы дает нам первый множитель для следующей пары, и мы последовательно получаем:
$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$

В итоге выражение упрощается до произведения двух последних множителей:
$E = (2^{32} - 1)(2^{32} + 1)$

Применив формулу в последний раз, находим окончательный результат:
$E = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1$

Ответ: $2^{64} - 1$.

9. Разность кубов каких двух последовательных натуральных чисел равна 331?

Обозначим искомые два последовательных натуральных числа как $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число.
По условию задачи разность их кубов равна 331. Поскольку $n+1 > n$, уравнение будет выглядеть так:
$(n+1)^3 - n^3 = 331$

Чтобы решить это уравнение, раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:
$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 331$
Упростим полученное выражение:
$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 331$
$3n^2 + 3n + 1 = 331$

Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$3n^2 + 3n + 1 - 331 = 0$
$3n^2 + 3n - 330 = 0$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$n^2 + n - 110 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Проще всего это сделать по теореме Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $-110$, а сумма равна $-1$. Этими числами являются $10$ и $-11$.
Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 10$ и $n_2 = -11$.
Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Так как по условию задачи мы ищем натуральные числа, корень $n = -11$ не является решением. Следовательно, меньшее из искомых чисел равно 10.
Второе число — это $n+1 = 10 + 1 = 11$.

Выполним проверку:
$11^3 - 10^3 = 1331 - 1000 = 331$.
Разность действительно равна 331, значит, числа найдены верно.

Ответ: 10 и 11.