Номер 9, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Разность кубов каких двух последовательных натуральных чисел равна 331?

Обозначим искомые два последовательных натуральных числа как $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число.
По условию задачи разность их кубов равна 331. Поскольку $n+1 > n$, уравнение будет выглядеть так:
$(n+1)^3 - n^3 = 331$

Чтобы решить это уравнение, раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:
$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 331$
Упростим полученное выражение:
$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 331$
$3n^2 + 3n + 1 = 331$

Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$3n^2 + 3n + 1 - 331 = 0$
$3n^2 + 3n - 330 = 0$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$n^2 + n - 110 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Проще всего это сделать по теореме Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $-110$, а сумма равна $-1$. Этими числами являются $10$ и $-11$.
Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 10$ и $n_2 = -11$.
Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Так как по условию задачи мы ищем натуральные числа, корень $n = -11$ не является решением. Следовательно, меньшее из искомых чисел равно 10.
Второе число — это $n+1 = 10 + 1 = 11$.

Выполним проверку:
$11^3 - 10^3 = 1331 - 1000 = 331$.
Разность действительно равна 331, значит, числа найдены верно.

Ответ: 10 и 11.