Номер 2, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Разложить на множители:

а) $xy - 2y;$

б) $16a^2 - 81;$

в) $3x^2 - 6x^3;$

г) $x^2 - 10x + 25;$

д) $3(x-1) + y(x-1);$

е) $2a^2 - 4ab + 2b^2.$

а) В выражении $xy - 2y$ оба члена содержат общий множитель $y$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $y$.
$xy - 2y = y \cdot x - y \cdot 2 = y(x - 2)$.
Ответ: $y(x - 2)$.

б) Выражение $16a^2 - 81$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A^2 = 16a^2$, поэтому $A = 4a$. $B^2 = 81$, поэтому $B = 9$.
Подставим значения в формулу: $16a^2 - 81 = (4a)^2 - 9^2 = (4a - 9)(4a + 9)$.
Ответ: $(4a - 9)(4a + 9)$.

в) В выражении $3x^2 - 6x^3$ найдем наибольший общий делитель для обоих членов. Для коэффициентов 3 и 6 это 3. Для переменных $x^2$ и $x^3$ это $x^2$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $3x^2$.
$3x^2 - 6x^3 = 3x^2 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 2x = 3x^2(1 - 2x)$.
Ответ: $3x^2(1 - 2x)$.

г) Выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2$, значит $A = x$. $B^2 = 25$, значит $B = 5$.
Проверим, соответствует ли средний член $-10x$ удвоенному произведению $-2AB$: $-2 \cdot x \cdot 5 = -10x$. Соответствует.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
Ответ: $(x - 5)^2$.

д) В выражении $3(x - 1) + y(x - 1)$ оба слагаемых, $3(x - 1)$ и $y(x - 1)$, содержат общий множитель в виде скобки $(x - 1)$. Вынесем эту скобку как общий множитель.
$3(x - 1) + y(x - 1) = (3 + y)(x - 1)$.
Ответ: $(3 + y)(x - 1)$.

е) В выражении $2a^2 - 4ab + 2b^2$ сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. Все коэффициенты (2, -4, 2) делятся на 2.
$2a^2 - 4ab + 2b^2 = 2(a^2 - 2ab + b^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 2ab + b^2$. Это формула квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, где $A=a$ и $B=b$.
Таким образом, получаем: $2(a^2 - 2ab + b^2) = 2(a - b)^2$.
Ответ: $2(a - b)^2$.