Номер 8, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 8, страница 183.

Условие.

8. Упростить выражение $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Обозначим исходное выражение буквой $E$:
$E = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$

Чтобы можно было применить формулу разности квадратов, не хватает множителя $(2 - 1)$. Так как $(2 - 1) = 1$, мы можем домножить на него наше выражение, не изменив его значения:
$E = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$

Теперь начнем последовательно сворачивать произведение, применяя формулу к первым двум скобкам:
$(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1$

Подставив результат обратно в выражение, получим:
$E = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$

Снова применяем ту же формулу к первым двум скобкам нового выражения:
$(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$

Этот процесс продолжается по цепочке. Каждое новое применение формулы дает нам первый множитель для следующей пары, и мы последовательно получаем:
$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$

В итоге выражение упрощается до произведения двух последних множителей:
$E = (2^{32} - 1)(2^{32} + 1)$

Применив формулу в последний раз, находим окончательный результат:
$E = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1$

Ответ: $2^{64} - 1$.