Номер 5, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Проверь себя! - номер 5, страница 184.

Условие.

5. Вычислить:

$\frac{87^2 - 13^2}{91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения, чтобы упростить числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель дроби $87^2 - 13^2$. Он представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 87$ и $b = 13$:

$87^2 - 13^2 = (87 - 13)(87 + 13) = 74 \cdot 100$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби $91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2$. Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Проверим это, подставив $a = 91$ и $b = 17$.

Средний член $-2ab$ будет равен $-2 \cdot 91 \cdot 17 = -34 \cdot 91$, что в точности совпадает со средним членом в знаменателе. Следовательно, знаменатель можно представить в виде полного квадрата:

$91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2 = (91 - 17)^2 = 74^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в исходную дробь:

$\frac{87^2 - 13^2}{91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2} = \frac{74 \cdot 100}{74^2}$.

Запишем $74^2$ как $74 \cdot 74$ и сократим дробь на общий множитель 74:

$\frac{74 \cdot 100}{74 \cdot 74} = \frac{100}{74}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{100 \div 2}{74 \div 2} = \frac{50}{37}$.

Поскольку 37 является простым числом, дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $\frac{50}{37}$