Номер 10, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Проверь себя! - номер 10, страница 184.

Условие.

10. Доказать, что $(a-2m)^2 - a(2m-a) + 2m(2m-a) + 8am = 16$ при условии, что $a^2 + 4m^2 = 8.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества необходимо упростить левую часть выражения, а затем использовать заданное условие.

Рассмотрим левую часть равенства: $ (a-2m)^2 - a(2m-a) + 2m(2m-a) + 8am $.

Сначала преобразуем часть выражения $- a(2m-a) + 2m(2m-a)$. Вынесем общий множитель $(2m-a)$ за скобки:

$ - a(2m-a) + 2m(2m-a) = (-a + 2m)(2m-a) = (2m-a)^2 $

Теперь все выражение можно записать в виде:

$ (a-2m)^2 + (2m-a)^2 + 8am $

Так как квадрат выражения не зависит от знака основания, то $(2m-a)^2 = (-(a-2m))^2 = (a-2m)^2$. Подставим это обратно в выражение:

$ (a-2m)^2 + (a-2m)^2 + 8am = 2(a-2m)^2 + 8am $

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$ 2(a^2 - 2 \cdot a \cdot 2m + (2m)^2) + 8am = 2(a^2 - 4am + 4m^2) + 8am $

Распределим множитель 2:

$ 2a^2 - 8am + 8m^2 + 8am $

Сократим подобные слагаемые ($-8am$ и $+8am$):

$ 2a^2 + 8m^2 $

Вынесем общий множитель 2 за скобку:

$ 2(a^2 + 4m^2) $

Теперь воспользуемся условием задачи, согласно которому $ a^2 + 4m^2 = 8 $. Подставим это значение в полученное выражение:

$ 2 \cdot 8 = 16 $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 16. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $(a-2m)^2 - a(2m-a) + 2m(2m-a) + 8am = 16$ при условии $a^2+4m^2=8$ доказано.