Номер 9, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Проверь себя! - номер 9, страница 184.

Условие.

9. Указать, при каких значениях $a$ имеет единственный корень уравнение $(x - a)(x + a) = (x - a)^2 - 2a^2 - 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых данное уравнение имеет единственный корень, необходимо сначала упростить это уравнение.

Исходное уравнение: $(x-a)(x+a) = (x-a)^2 - 2a^2 - 1$.

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов, а в правой — формулу квадрата разности.

Левая часть: $(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$.

Правая часть: $(x-a)^2 - 2a^2 - 1 = (x^2 - 2ax + a^2) - 2a^2 - 1 = x^2 - 2ax - a^2 - 1$.

Приравняем упрощенные выражения: $x^2 - a^2 = x^2 - 2ax - a^2 - 1$.

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы выделить переменную $x$. Для начала, вычтем из обеих частей $x^2$: $-a^2 = -2ax - a^2 - 1$.

Затем прибавим к обеим частям $a^2$: $0 = -2ax - 1$.

Перенесем член с переменной $x$ в левую часть уравнения: $2ax = -1$.

Мы получили линейное уравнение относительно $x$ вида $Bx = C$, где $B = 2a$ и $C = -1$. Такое уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $B \neq 0$.

В нашем случае это условие выглядит так: $2a \neq 0$.

Разделив на 2, получаем: $a \neq 0$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2 \cdot 0 \cdot x = -1$, то есть $0 = -1$, что является ложным равенством. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при всех значениях $a$, кроме нуля.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.