Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Представить в виде многочлена стандартного вида выражение $(a+3)^2+(a-3)(a+3)+6a.$

1. Чтобы представить выражение $(a+3)^2+(a-3)(a+3)+6a$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
• Разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Раскроем первое слагаемое $(a+3)^2$ по формуле квадрата суммы:

$(a+3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.

Раскроем второе слагаемое $(a-3)(a+3)$ по формуле разности квадратов:

$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(a^2 + 6a + 9) + (a^2 - 9) + 6a$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной a:

$a^2 + 6a + 9 + a^2 - 9 + 6a = (a^2 + a^2) + (6a + 6a) + (9 - 9)$.

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$2a^2 + 12a + 0 = 2a^2 + 12a$.

Полученный многочлен $2a^2 + 12a$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $2a^2+12a$.

2. Разложить на множители:

а) $xy - 2y;$

б) $16a^2 - 81;$

в) $3x^2 - 6x^3;$

г) $x^2 - 10x + 25;$

д) $3(x-1) + y(x-1);$

е) $2a^2 - 4ab + 2b^2.$

а) В выражении $xy - 2y$ оба члена содержат общий множитель $y$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $y$.
$xy - 2y = y \cdot x - y \cdot 2 = y(x - 2)$.
Ответ: $y(x - 2)$.

б) Выражение $16a^2 - 81$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A^2 = 16a^2$, поэтому $A = 4a$. $B^2 = 81$, поэтому $B = 9$.
Подставим значения в формулу: $16a^2 - 81 = (4a)^2 - 9^2 = (4a - 9)(4a + 9)$.
Ответ: $(4a - 9)(4a + 9)$.

в) В выражении $3x^2 - 6x^3$ найдем наибольший общий делитель для обоих членов. Для коэффициентов 3 и 6 это 3. Для переменных $x^2$ и $x^3$ это $x^2$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $3x^2$.
$3x^2 - 6x^3 = 3x^2 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 2x = 3x^2(1 - 2x)$.
Ответ: $3x^2(1 - 2x)$.

г) Выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2$, значит $A = x$. $B^2 = 25$, значит $B = 5$.
Проверим, соответствует ли средний член $-10x$ удвоенному произведению $-2AB$: $-2 \cdot x \cdot 5 = -10x$. Соответствует.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
Ответ: $(x - 5)^2$.

д) В выражении $3(x - 1) + y(x - 1)$ оба слагаемых, $3(x - 1)$ и $y(x - 1)$, содержат общий множитель в виде скобки $(x - 1)$. Вынесем эту скобку как общий множитель.
$3(x - 1) + y(x - 1) = (3 + y)(x - 1)$.
Ответ: $(3 + y)(x - 1)$.

е) В выражении $2a^2 - 4ab + 2b^2$ сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. Все коэффициенты (2, -4, 2) делятся на 2.
$2a^2 - 4ab + 2b^2 = 2(a^2 - 2ab + b^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 2ab + b^2$. Это формула квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, где $A=a$ и $B=b$.
Таким образом, получаем: $2(a^2 - 2ab + b^2) = 2(a - b)^2$.
Ответ: $2(a - b)^2$.

3. Разложить на множители многочлен $a^2 - 3ab + 3a - 9b$ и найти его числовое значение при $a=1$, $b=-\frac{1}{3}$.

Разложение многочлена на множители

Исходный многочлен: $a^2 - 3ab + 3a - 9b$.

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем попарно члены многочлена.

Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:

$(a^2 - 3ab) + (3a - 9b)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. В первой группе это $a$, во второй — $3$.

$a(a - 3b) + 3(a - 3b)$

Теперь полученное выражение имеет общий множитель $(a - 3b)$, который мы также выносим за скобки:

$(a - 3b)(a + 3)$

Ответ: $(a - 3b)(a + 3)$.

Нахождение числового значения

Теперь необходимо найти значение выражения при заданных $a = 1$ и $b = -\frac{1}{3}$. Для удобства вычислений используем полученное разложение на множители.

Подставим значения $a$ и $b$ в выражение $(a - 3b)(a + 3)$:

$(1 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}))(1 + 3)$

Выполним вычисления по действиям. Сначала в первых скобках:

$1 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = 1 + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2$

Затем во вторых скобках:

$1 + 3 = 4$

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8.

4. Разложить на множители:

а) $(2 - 3n)^2 - 9n^4;$

б) $(a - 5)^2 + 2(5 - a) + 1;$

в) $x^6 - x^4 - x^2 + 1;$

г) $8b^3 - \frac{1}{27}.$

5. Вычислить:

$\frac{87^2 - 13^2}{91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2}$

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения, чтобы упростить числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель дроби $87^2 - 13^2$. Он представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 87$ и $b = 13$:

$87^2 - 13^2 = (87 - 13)(87 + 13) = 74 \cdot 100$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби $91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2$. Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Проверим это, подставив $a = 91$ и $b = 17$.

Средний член $-2ab$ будет равен $-2 \cdot 91 \cdot 17 = -34 \cdot 91$, что в точности совпадает со средним членом в знаменателе. Следовательно, знаменатель можно представить в виде полного квадрата:

$91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2 = (91 - 17)^2 = 74^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в исходную дробь:

$\frac{87^2 - 13^2}{91^2 - 34 \cdot 91 + 17^2} = \frac{74 \cdot 100}{74^2}$.

Запишем $74^2$ как $74 \cdot 74$ и сократим дробь на общий множитель 74:

$\frac{74 \cdot 100}{74 \cdot 74} = \frac{100}{74}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{100 \div 2}{74 \div 2} = \frac{50}{37}$.

Поскольку 37 является простым числом, дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $\frac{50}{37}$

6. Решить уравнение $(x-3)^2 + (3-x)(x+3) = (x+2)^2 - x^2$.

6. Для решения данного уравнения необходимо раскрыть скобки в левой и правой частях, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное уравнение: $(x-3)^2 + (3-x)(x+3) = (x+2)^2 - x^2$.

Преобразуем левую часть уравнения. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Раскроем первое слагаемое: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Раскроем второе слагаемое. Заметим, что $(3-x)(x+3)$ можно представить как $-(x-3)(x+3)$. Тогда по формуле разности квадратов получаем: $-(x^2 - 3^2) = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$.
Теперь сложим полученные выражения для левой части:
$(x^2 - 6x + 9) + (9 - x^2) = x^2 - 6x + 9 + 9 - x^2$.
Приводим подобные члены: $(x^2 - x^2) - 6x + (9 + 9) = -6x + 18$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем скобки: $(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Подставим это в правую часть уравнения:
$(x^2 + 4x + 4) - x^2$.
Приводим подобные члены: $(x^2 - x^2) + 4x + 4 = 4x + 4$.

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:
$-6x + 18 = 4x + 4$.

Получили линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую сторону, а свободные члены — в левую, не забывая менять знаки при переносе:
$18 - 4 = 4x + 6x$.
$14 = 10x$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 10:
$x = \frac{14}{10}$.
Сократим дробь или представим ее в виде десятичной:
$x = \frac{7}{5} = 1.4$.

Ответ: $1.4$

7. Разложить на множители: $x^2 - 7x + 12$.

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В данном случае имеем трехчлен $x^2 - 7x + 12$. Коэффициенты этого трехчлена: $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

Первым шагом найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Для нахождения корней можно воспользоваться вычислением дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем наши значения:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формулам:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни уравнения также можно найти, используя теорему Виета. Так как уравнение является приведенным ($a=1$), для его корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться следующие условия:

$x_1 + x_2 = -b = -(-7) = 7$

$x_1 \cdot x_2 = c = 12$

Методом подбора находим, что числа 3 и 4 удовлетворяют этим условиям: $3 + 4 = 7$ и $3 \cdot 4 = 12$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Теперь, когда корни найдены, подставим их в формулу разложения на множители $a(x - x_1)(x - x_2)$. С учетом того, что $a=1$, получаем:

$x^2 - 7x + 12 = 1 \cdot (x - 3)(x - 4) = (x - 3)(x - 4)$

Для проверки правильности разложения можно раскрыть скобки: $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$. Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $(x - 3)(x - 4)$

8. Вычислить: $\frac{30^3 + 19^3}{30^2 - 570 + 19^2}$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения. В частности, формулой суммы кубов.

Формула суммы кубов имеет вид: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Применим эту формулу к числителю дроби, приняв $a = 30$ и $b = 19$:

$30^3 + 19^3 = (30+19)(30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2)$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби. Обратим внимание на слагаемое 570. Проверим, не является ли оно произведением чисел 30 и 19:

$30 \cdot 19 = 570$.

Таким образом, знаменатель $30^2 - 570 + 19^2$ можно переписать в виде $30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{30^3 + 19^3}{30^2 - 570 + 19^2} = \frac{(30+19)(30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2)}{30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2}$

Видно, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2)$. Сократим дробь на этот множитель:

$\frac{(30+19)\cancel{(30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2)}}{\cancel{(30^2 - 30 \cdot 19 + 19^2)}} = 30 + 19$

Осталось выполнить простое сложение:

$30 + 19 = 49$.

Ответ: 49

9. Указать, при каких значениях $a$ имеет единственный корень уравнение $(x - a)(x + a) = (x - a)^2 - 2a^2 - 1$.

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых данное уравнение имеет единственный корень, необходимо сначала упростить это уравнение.

Исходное уравнение: $(x-a)(x+a) = (x-a)^2 - 2a^2 - 1$.

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов, а в правой — формулу квадрата разности.

Левая часть: $(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$.

Правая часть: $(x-a)^2 - 2a^2 - 1 = (x^2 - 2ax + a^2) - 2a^2 - 1 = x^2 - 2ax - a^2 - 1$.

Приравняем упрощенные выражения: $x^2 - a^2 = x^2 - 2ax - a^2 - 1$.

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы выделить переменную $x$. Для начала, вычтем из обеих частей $x^2$: $-a^2 = -2ax - a^2 - 1$.

Затем прибавим к обеим частям $a^2$: $0 = -2ax - 1$.

Перенесем член с переменной $x$ в левую часть уравнения: $2ax = -1$.

Мы получили линейное уравнение относительно $x$ вида $Bx = C$, где $B = 2a$ и $C = -1$. Такое уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $B \neq 0$.

В нашем случае это условие выглядит так: $2a \neq 0$.

Разделив на 2, получаем: $a \neq 0$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2 \cdot 0 \cdot x = -1$, то есть $0 = -1$, что является ложным равенством. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при всех значениях $a$, кроме нуля.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

10. Доказать, что $(a-2m)^2 - a(2m-a) + 2m(2m-a) + 8am = 16$ при условии, что $a^2 + 4m^2 = 8.$

Для доказательства данного тождества необходимо упростить левую часть выражения, а затем использовать заданное условие.

Рассмотрим левую часть равенства: $ (a-2m)^2 - a(2m-a) + 2m(2m-a) + 8am $.

Сначала преобразуем часть выражения $- a(2m-a) + 2m(2m-a)$. Вынесем общий множитель $(2m-a)$ за скобки:

$ - a(2m-a) + 2m(2m-a) = (-a + 2m)(2m-a) = (2m-a)^2 $

Теперь все выражение можно записать в виде:

$ (a-2m)^2 + (2m-a)^2 + 8am $

Так как квадрат выражения не зависит от знака основания, то $(2m-a)^2 = (-(a-2m))^2 = (a-2m)^2$. Подставим это обратно в выражение:

$ (a-2m)^2 + (a-2m)^2 + 8am = 2(a-2m)^2 + 8am $

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$ 2(a^2 - 2 \cdot a \cdot 2m + (2m)^2) + 8am = 2(a^2 - 4am + 4m^2) + 8am $

Распределим множитель 2:

$ 2a^2 - 8am + 8m^2 + 8am $

Сократим подобные слагаемые ($-8am$ и $+8am$):

$ 2a^2 + 8m^2 $

Вынесем общий множитель 2 за скобку:

$ 2(a^2 + 4m^2) $

Теперь воспользуемся условием задачи, согласно которому $ a^2 + 4m^2 = 8 $. Подставим это значение в полученное выражение:

$ 2 \cdot 8 = 16 $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 16. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $(a-2m)^2 - a(2m-a) + 2m(2m-a) + 8am = 16$ при условии $a^2+4m^2=8$ доказано.

11. Доказать, что значение выражения $27^5 - 9^6$ делится на 26.

Чтобы доказать, что значение выражения $27^5 - 9^6$ делится на 26, преобразуем его, приведя степени к общему основанию. В данном случае удобно привести оба члена выражения к основанию 27.

Первый член выражения, $27^5$, уже имеет основание 27.

Преобразуем второй член, $9^6$. Для этого сначала представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$9^6 = (3^2)^6$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$9^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$

Теперь представим $3^{12}$ как степень с основанием 27. Так как $27 = 3^3$, мы можем записать $3^{12}$ следующим образом:

$3^{12} = 3^{4 \cdot 3} = (3^3)^4 = 27^4$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$27^5 - 9^6 = 27^5 - 27^4$

Вынесем за скобки общий множитель $27^4$:

$27^4 (27 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$27^4 \cdot 26$

Полученное выражение представляет собой произведение целого числа $27^4$ и числа 26. Следовательно, оно без остатка делится на 26, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано, так как выражение $27^5 - 9^6$ можно представить в виде $27^4 \cdot 26$, которое очевидно делится на 26.