Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

570. Доказать, что при любом целом $n$ значение выражения $(7n-2)^2-(2n-7)^2$ делится на 5; делится на 9.

Для доказательства упростим данное выражение. Мы видим разность квадратов, поэтому воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 7n - 2$ и $b = 2n - 7$.

$(7n - 2)^2 - (2n - 7)^2 = ((7n - 2) - (2n - 7)) \cdot ((7n - 2) + (2n - 7))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

Первый множитель: $(7n - 2) - (2n - 7) = 7n - 2 - 2n + 7 = 5n + 5 = 5(n + 1)$.

Второй множитель: $(7n - 2) + (2n - 7) = 7n - 2 + 2n - 7 = 9n - 9 = 9(n - 1)$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$5(n + 1) \cdot 9(n - 1) = 45(n + 1)(n - 1) = 45(n^2 - 1)$.

Итак, исходное выражение тождественно равно $45(n^2 - 1)$. Теперь докажем делимость этого выражения на 5 и на 9.

делится на 5;

Рассмотрим выражение $45(n^2 - 1)$. Его можно представить в виде $5 \cdot 9(n^2 - 1)$.

По условию, $n$ — целое число. Следовательно, $n^2$ — также целое число, а значит и разность $(n^2 - 1)$ является целым числом. Произведение $9(n^2 - 1)$ тоже будет целым числом.

Таким образом, исходное выражение равно произведению числа 5 на целое число $9(n^2 - 1)$, что по определению означает, что оно делится на 5 без остатка при любом целом $n$.

Ответ: Доказано, что при любом целом $n$ значение выражения делится на 5.

делится на 9.

Рассмотрим то же самое выражение $45(n^2 - 1)$. Его можно представить в виде $9 \cdot 5(n^2 - 1)$.

Так как $n$ — целое число, то $(n^2 - 1)$ — целое число, и произведение $5(n^2 - 1)$ также является целым числом.

Следовательно, исходное выражение равно произведению числа 9 на целое число $5(n^2 - 1)$, что по определению означает, что оно делится на 9 без остатка при любом целом $n$.

Ответ: Доказано, что при любом целом $n$ значение выражения делится на 9.

571. Используя формулы суммы или разности кубов, упростить:

1) $(a-2)(a^2+2a+4)$;

2) $(b+x)(b^2-bx+x^2)$;

3) $(2a+3)(4a^2-6a+9)$;

4) $(a^2-1)(a^4+a^2+1)$.

1) Для упрощения выражения $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В данном выражении $x = a$ и $y = 2$. Вторая скобка $(a^2 + 2a + 4)$ представляет собой неполный квадрат суммы $a$ и $2$, то есть $a^2 + a \cdot 2 + 2^2$. Следовательно, выражение сворачивается в разность кубов: $a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$

2) Выражение $(b + x)(b^2 - bx + x^2)$ упрощается с помощью формулы суммы кубов: $u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)$. В этом случае $u = b$ и $v = x$. Вторая скобка $(b^2 - bx + x^2)$ является неполным квадратом разности $b$ и $x$, то есть $b^2 - b \cdot x + x^2$. Применяя формулу, получаем: $b^3 + x^3$.
Ответ: $b^3 + x^3$

3) Для выражения $(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Здесь $x = 2a$ и $y = 3$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 - 6a + 9)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$, $xy = (2a)(3) = 6a$, $y^2 = 3^2 = 9$. Выражение полностью соответствует формуле. Таким образом, результат равен $(2a)^3 + 3^3 = 8a^3 + 27$.
Ответ: $8a^3 + 27$

4) Выражение $(a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1)$ является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = 1$. Проверим вторую скобку $(a^4 + a^2 + 1)$: $x^2 = (a^2)^2 = a^4$, $xy = (a^2)(1) = a^2$, $y^2 = 1^2 = 1$. Выражение соответствует формуле. Следовательно, результат равен $(a^2)^3 - 1^3 = a^6 - 1$.
Ответ: $a^6 - 1$

572. Разложить на множители:

1) $27a^3 - b^3$;

2) $x^3y^3 + 64$;

3) $8m^3 + n^9$;

4) $c^6 - 125d^3$.

1) Для разложения выражения $27a^3 - b^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде разности кубов. Для этого определим, какие выражения были возведены в куб:

$27a^3 = (3a)^3$

$b^3 = (b)^3$

Таким образом, $27a^3 - b^3 = (3a)^3 - (b)^3$.

В данном случае $x = 3a$ и $y = b$. Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$(3a - b)((3a)^2 + (3a)(b) + b^2) = (3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$.

Ответ: $(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$

2) Для разложения выражения $x^3y^3 + 64$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде суммы кубов:

$x^3y^3 = (xy)^3$

$64 = 4^3$

Следовательно, $x^3y^3 + 64 = (xy)^3 + 4^3$.

Здесь $x$ в формуле соответствует $xy$, а $y$ в формуле соответствует $4$. Подставим их в формулу суммы кубов:

$(xy + 4)((xy)^2 - (xy)(4) + 4^2) = (xy+4)(x^2y^2-4xy+16)$.

Ответ: $(xy+4)(x^2y^2-4xy+16)$

3) Для разложения выражения $8m^3 + n^9$ на множители применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба, используя свойство степеней $(a^k)^m = a^{km}$:

$8m^3 = (2m)^3$

$n^9 = n^{3 \cdot 3} = (n^3)^3$

Таким образом, выражение принимает вид: $(2m)^3 + (n^3)^3$.

Применяя формулу, где $x = 2m$ и $y = n^3$, получаем:

$(2m + n^3)((2m)^2 - (2m)(n^3) + (n^3)^2) = (2m+n^3)(4m^2-2mn^3+n^6)$.

Ответ: $(2m+n^3)(4m^2-2mn^3+n^6)$

4) Для разложения выражения $c^6 - 125d^3$ на множители используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$c^6 = c^{2 \cdot 3} = (c^2)^3$

$125d^3 = (5d)^3$

Выражение можно записать как: $(c^2)^3 - (5d)^3$.

Подставим в формулу значения $x = c^2$ и $y = 5d$:

$(c^2 - 5d)((c^2)^2 + (c^2)(5d) + (5d)^2) = (c^2-5d)(c^4+5c^2d+25d^2)$.

Ответ: $(c^2-5d)(c^4+5c^2d+25d^2)$

573. Разложить на множители трёхчлен:

1) $x^3 + x^2 - 12$;

2) $a^3 - 7a + 6$.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + x^2 - 12$, сначала найдем один из его целочисленных корней. Согласно следствию из теоремы Безу, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. В данном случае делителями числа -12 являются $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим, какое из этих чисел является корнем, подставляя их в многочлен. Начнем с малых значений. Пусть $P(x) = x^3 + x^2 - 12$.

$P(1) = 1^3 + 1^2 - 12 = 1 + 1 - 12 = -10 \neq 0$

$P(2) = 2^3 + 2^2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0$

Поскольку $P(2) = 0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а следовательно, двучлен $(x-2)$ является одним из его множителей. Для дальнейшего разложения воспользуемся методом группировки. Представим многочлен так, чтобы можно было выделить множитель $(x-2)$. Для этого разобьем свободный член -12 на $-8$ и $-4$:

$x^3 + x^2 - 12 = x^3 - 8 + x^2 - 4 = (x^3 - 8) + (x^2 - 4)$

Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к выражению $(x^3 - 8)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению $(x^2 - 4)$:

$(x^3 - 2^3) + (x^2 - 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4) + (x-2)(x+2)$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)((x^2 + 2x + 4) + (x+2))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x-2)(x^2 + 2x + x + 4 + 2) = (x-2)(x^2 + 3x + 6)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 6$. Для этого найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители над полем действительных чисел.

Ответ: $(x-2)(x^2 + 3x + 6)$.

2) Для разложения на множители многочлена $a^3 - 7a + 6$ также начнем с поиска целого корня среди делителей свободного члена 6, то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Пусть $P(a) = a^3 - 7a + 6$. Проверим значение при $a=1$:

$P(1) = 1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$

Так как $P(1)=0$, то $a=1$ является корнем, а $(a-1)$ — одним из множителей. Чтобы выделить этот множитель, представим член $-7a$ в виде суммы $-a - 6a$ и выполним группировку:

$a^3 - 7a + 6 = a^3 - a - 6a + 6$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^3 - a) + (-6a + 6) = a(a^2 - 1) - 6(a - 1)$

Применим формулу разности квадратов к выражению $(a^2 - 1)$:

$a(a-1)(a+1) - 6(a-1)$

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(a(a+1) - 6)$

Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:

$(a-1)(a^2 + a - 6)$

Теперь необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + a - 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$.

Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид:

$a^2 + a - 6 = (a-2)(a-(-3)) = (a-2)(a+3)$

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$(a-1)(a-2)(a+3)$

Ответ: $(a-1)(a-2)(a+3)$.

574. Доказать, что разность кубов любого натурального числа (большего 1) и числа, ему предшествующего в ряду натуральных чисел, не делится на 3.

Пусть $n$ — это любое натуральное число, большее 1, то есть $n \in \mathbb{N}$ и $n > 1$.

Число, предшествующее $n$ в ряду натуральных чисел, это $n-1$.

Требуется доказать, что разность их кубов, то есть выражение $n^3 - (n-1)^3$, не делится на 3.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем случае $a=n$ и $b=1$:

$(n-1)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 - 1^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$n^3 - (n-1)^3 = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$n^3 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1$.

После приведения подобных слагаемых ($n^3$ и $-n^3$ взаимно уничтожаются) получаем:

$3n^2 - 3n + 1$.

Проанализируем полученное выражение на предмет делимости на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки у первых двух слагаемых:

$3(n^2 - n) + 1$.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ и $n$ также являются целыми числами. Их разность $n^2 - n$ тоже будет целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $k = n^2 - n$.

Тогда наше выражение можно записать в виде $3k + 1$.

Число вида $3k + 1$, где $k$ — целое число, по определению дает остаток 1 при делении на 3. Число делится на 3 нацело (без остатка) только в том случае, если остаток от деления равен 0. Так как в нашем случае остаток всегда равен 1, то выражение $3n^2 - 3n + 1$ никогда не делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что разность кубов любого натурального числа (большего 1) и числа, ему предшествующего, не делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Разность $n^3 - (n-1)^3$ после упрощения равна $3(n^2 - n) + 1$. Это выражение при делении на 3 всегда даёт в остатке 1, а значит, не делится на 3 нацело.