Номер 570, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

570. Доказать, что при любом целом $n$ значение выражения $(7n-2)^2-(2n-7)^2$ делится на 5; делится на 9.

Для доказательства упростим данное выражение. Мы видим разность квадратов, поэтому воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 7n - 2$ и $b = 2n - 7$.

$(7n - 2)^2 - (2n - 7)^2 = ((7n - 2) - (2n - 7)) \cdot ((7n - 2) + (2n - 7))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

Первый множитель: $(7n - 2) - (2n - 7) = 7n - 2 - 2n + 7 = 5n + 5 = 5(n + 1)$.

Второй множитель: $(7n - 2) + (2n - 7) = 7n - 2 + 2n - 7 = 9n - 9 = 9(n - 1)$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$5(n + 1) \cdot 9(n - 1) = 45(n + 1)(n - 1) = 45(n^2 - 1)$.

Итак, исходное выражение тождественно равно $45(n^2 - 1)$. Теперь докажем делимость этого выражения на 5 и на 9.

делится на 5;

Рассмотрим выражение $45(n^2 - 1)$. Его можно представить в виде $5 \cdot 9(n^2 - 1)$.

По условию, $n$ — целое число. Следовательно, $n^2$ — также целое число, а значит и разность $(n^2 - 1)$ является целым числом. Произведение $9(n^2 - 1)$ тоже будет целым числом.

Таким образом, исходное выражение равно произведению числа 5 на целое число $9(n^2 - 1)$, что по определению означает, что оно делится на 5 без остатка при любом целом $n$.

Ответ: Доказано, что при любом целом $n$ значение выражения делится на 5.

делится на 9.

Рассмотрим то же самое выражение $45(n^2 - 1)$. Его можно представить в виде $9 \cdot 5(n^2 - 1)$.

Так как $n$ — целое число, то $(n^2 - 1)$ — целое число, и произведение $5(n^2 - 1)$ также является целым числом.

Следовательно, исходное выражение равно произведению числа 9 на целое число $5(n^2 - 1)$, что по определению означает, что оно делится на 9 без остатка при любом целом $n$.

Ответ: Доказано, что при любом целом $n$ значение выражения делится на 9.