Номер 568, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

568. Решить уравнение:

1) $2x^2 - 10x + x^2 - 25 = 0$;

2) $x^2 + 4x + 4 - 16x^2 = 0$;

3) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$;

4) $2x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$.

Дано уравнение $2x^2 - 10x + x^2 - 25 = 0$.
Сначала приведем подобные слагаемые: $(2x^2 + x^2) - 10x - 25 = 0$ $3x^2 - 10x - 25 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=-10$, $c=-25$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{400} = 20$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-10) + 20}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-(-10) - 20}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $5; -\frac{5}{3}$.

Дано уравнение $x^2 + 4x + 4 - 16x^2 = 0$.
Заметим, что первые три члена $x^2 + 4x + 4$ представляют собой формулу квадрата суммы: $(x+2)^2$.
Также, член $16x^2$ можно представить как $(4x)^2$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$(x+2)^2 - (4x)^2 = 0$
Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+2$ и $b = 4x$.
Разложим левую часть на множители:
$((x+2) - 4x)((x+2) + 4x) = 0$
$(2 - 3x)(5x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x_1 = \frac{2}{3}$
или
$5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{3}; -\frac{2}{5}$.

Дано уравнение $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) + (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x - 1)(x^4 - 2x^2 + 1) = 0$
Выражение во второй скобке $x^4 - 2x^2 + 1$ является полным квадратом: $(x^2 - 1)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 1)(x^2 - 1)^2 = 0$
Разложим $x^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$(x - 1)((x - 1)(x + 1))^2 = 0$
$(x - 1)(x - 1)^2(x + 1)^2 = 0$
$(x - 1)^3(x + 1)^2 = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
или
$(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Ответ: $1; -1$.

Дано уравнение $2x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$.
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x^3 - x^2 - x + 1) = 0$
Отсюда следует, что либо $2x=0$, либо $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$.
Первый корень: $2x=0 \implies x_1 = 0$.
Теперь решим кубическое уравнение $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$, сгруппировав слагаемые:
$(x^3 - x^2) - (x - 1) = 0$
$x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)(x^2 - 1) = 0$
Разложим $x^2-1$ на множители по формуле разности квадратов:
$(x-1)(x-1)(x+1) = 0$
$(x-1)^2(x+1) = 0$
Отсюда находим остальные корни:
$(x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x_2 = 1$
или
$x+1=0 \implies x_3 = -1$
Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 1; -1$.