Номер 571, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

571. Используя формулы суммы или разности кубов, упростить:

1) $(a-2)(a^2+2a+4)$;

2) $(b+x)(b^2-bx+x^2)$;

3) $(2a+3)(4a^2-6a+9)$;

4) $(a^2-1)(a^4+a^2+1)$.

1) Для упрощения выражения $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В данном выражении $x = a$ и $y = 2$. Вторая скобка $(a^2 + 2a + 4)$ представляет собой неполный квадрат суммы $a$ и $2$, то есть $a^2 + a \cdot 2 + 2^2$. Следовательно, выражение сворачивается в разность кубов: $a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$

2) Выражение $(b + x)(b^2 - bx + x^2)$ упрощается с помощью формулы суммы кубов: $u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)$. В этом случае $u = b$ и $v = x$. Вторая скобка $(b^2 - bx + x^2)$ является неполным квадратом разности $b$ и $x$, то есть $b^2 - b \cdot x + x^2$. Применяя формулу, получаем: $b^3 + x^3$.
Ответ: $b^3 + x^3$

3) Для выражения $(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Здесь $x = 2a$ и $y = 3$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 - 6a + 9)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$, $xy = (2a)(3) = 6a$, $y^2 = 3^2 = 9$. Выражение полностью соответствует формуле. Таким образом, результат равен $(2a)^3 + 3^3 = 8a^3 + 27$.
Ответ: $8a^3 + 27$

4) Выражение $(a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1)$ является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = 1$. Проверим вторую скобку $(a^4 + a^2 + 1)$: $x^2 = (a^2)^2 = a^4$, $xy = (a^2)(1) = a^2$, $y^2 = 1^2 = 1$. Выражение соответствует формуле. Следовательно, результат равен $(a^2)^3 - 1^3 = a^6 - 1$.
Ответ: $a^6 - 1$