Номер 578, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 578, страница 181.

Условие.

578. 1) $8ax + 16ay - 3bx - 6by;$

2) $14am - 7an + 8bm - 4bn;$

3) $9a^2 + 6a + 1 - 4b^2;$

4) $25a^2 - 4b^2 + 4b - 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения многочлена $8ax + 16ay - 3bx - 6by$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$ (8ax + 16ay) + (-3bx - 6by) $

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $8a$:

$ 8a(x + 2y) $

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-3b$:

$ -3b(x + 2y) $

Теперь исходное выражение имеет вид:

$ 8a(x + 2y) - 3b(x + 2y) $

Общий множитель $(x + 2y)$ можно вынести за скобки:

$ (x + 2y)(8a - 3b) $

Ответ: $(x + 2y)(8a - 3b)$

2) Разложим на множители выражение $14am - 7an + 8bm - 4bn$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$ (14am - 7an) + (8bm - 4bn) $

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $7a$:

$ 7a(2m - n) $

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $4b$:

$ 4b(2m - n) $

Получим выражение:

$ 7a(2m - n) + 4b(2m - n) $

Вынесем общий множитель $(2m - n)$ за скобки:

$ (2m - n)(7a + 4b) $

Ответ: $(2m - n)(7a + 4b)$

3) Рассмотрим выражение $9a^2 + 6a + 1 - 4b^2$. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x^2 = 9a^2$, что значит $x=3a$. $y^2 = 1$, что значит $y=1$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 3a \cdot 1 = 6a$. Он совпадает со вторым слагаемым в выражении.

Таким образом, $9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$ (3a + 1)^2 - 4b^2 $

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x = (3a+1)$, а $y^2=4b^2$, что значит $y=2b$.

Получаем:

$ ((3a + 1) - 2b)((3a + 1) + 2b) $

Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный результат:

$ (3a - 2b + 1)(3a + 2b + 1) $

Ответ: $(3a - 2b + 1)(3a + 2b + 1)$

4) В выражении $25a^2 - 4b^2 + 4b - 1$ сгруппируем последние три слагаемых и вынесем за скобки $-1$:

$ 25a^2 - (4b^2 - 4b + 1) $

Выражение в скобках $4b^2 - 4b + 1$ является полным квадратом разности. Проверим по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = 4b^2 \Rightarrow x=2b$, $y^2 = 1 \Rightarrow y=1$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 2b \cdot 1 = 4b$. Это соответствует выражению в скобках.

Следовательно, $4b^2 - 4b + 1 = (2b - 1)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ 25a^2 - (2b - 1)^2 $

Мы получили разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 25a^2 \Rightarrow x=5a$, а $y = (2b-1)$.

Получаем:

$ (5a - (2b - 1))(5a + (2b - 1)) $

Раскроем внутренние скобки, учитывая знаки:

$ (5a - 2b + 1)(5a + 2b - 1) $

Ответ: $(5a - 2b + 1)(5a + 2b - 1)$