Номер 582, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

582. Разложить на множители многочлен:

1) $mn - kn - m^2 + 2mk - k^2;$

2) $c^2 - 2c + 1 - d^2 - 2de - e^2.$

1) Для разложения на множители многочлена $mn - kn - m^2 + 2mk - k^2$ воспользуемся методом группировки.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(mn - kn) + (-m^2 + 2mk - k^2)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $n$:
$n(m-k)$
Во второй группе вынесем за скобки $-1$, чтобы получить формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$-(m^2 - 2mk + k^2) = -(m-k)^2$
Теперь исходный многочлен имеет вид:
$n(m-k) - (m-k)^2$
Вынесем за скобки общий множитель $(m-k)$:
$(m-k)(n - (m-k))$
Раскроем внутренние скобки:
$(m-k)(n - m + k)$
Ответ: $(m-k)(n-m+k)$

2) Для разложения на множители многочлена $c^2 - 2c + 1 - d^2 - 2de - e^2$ также используем метод группировки, чтобы выделить формулы сокращенного умножения.
Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:
$(c^2 - 2c + 1) + (-d^2 - 2de - e^2)$
Первая группа представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$c^2 - 2c + 1 = (c-1)^2$
Во второй группе вынесем за скобки $-1$. Оставшееся выражение является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$-(d^2 + 2de + e^2) = -(d+e)^2$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(c-1)^2 - (d+e)^2$
Теперь мы получили разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = c-1$ и $b = d+e$. Применим эту формулу:
$((c-1) - (d+e))((c-1) + (d+e))$
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(c - 1 - d - e)(c - 1 + d + e)$
Для удобства записи переставим слагаемые:
$(c - d - e - 1)(c + d + e - 1)$
Ответ: $(c - d - e - 1)(c + d + e - 1)$