Номер 581, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 581, страница 181.

Условие.

581. Доказать, что при любых значениях $x$ и $y$ верно равенство:

1) $(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$;

2) $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)=x^4-16y^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать тождество $(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$, преобразуем левую и правую части равенства и покажем, что они равны.

Начнем с левой части: $(x+y)(x^2-y^2)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для выражения $(x^2-y^2)$. Получаем: $(x+y)(x^2-y^2) = (x+y)(x-y)(x+y)$.

Перегруппируем множители для удобства: $(x+y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x+y)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$.

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства: $(x-y)(x+y)^2$. Она уже находится в том же виде, к которому мы привели левую часть.

Поскольку и левая, и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению $(x-y)(x+y)^2$, исходное равенство верно при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: Равенство $(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$ верно, так как обе его части тождественно равны выражению $(x-y)(x+y)^2$.

2) Чтобы доказать тождество $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2) = x^4-16y^4$, последовательно упростим левую часть, используя формулы сокращенного умножения.

Сначала перемножим первые два сомножителя $(x-2y)(x+2y)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=2y$. $(x-2y)(x+2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.

Теперь левая часть исходного равенства приняла вид: $(x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2)$.

Мы снова видим формулу разности квадратов, но на этот раз $a=x^2$ и $b=4y^2$. Применим её: $(x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2) = (x^2)^2 - (4y^2)^2 = x^4 - 16y^4$.

Результат преобразования левой части, $x^4 - 16y^4$, в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: Равенство $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2) = x^4-16y^4$ верно, что доказывается двукратным последовательным применением формулы разности квадратов к левой части.