Номер 574, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

574. Доказать, что разность кубов любого натурального числа (большего 1) и числа, ему предшествующего в ряду натуральных чисел, не делится на 3.

Пусть $n$ — это любое натуральное число, большее 1, то есть $n \in \mathbb{N}$ и $n > 1$.

Число, предшествующее $n$ в ряду натуральных чисел, это $n-1$.

Требуется доказать, что разность их кубов, то есть выражение $n^3 - (n-1)^3$, не делится на 3.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем случае $a=n$ и $b=1$:

$(n-1)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 - 1^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$n^3 - (n-1)^3 = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$n^3 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1$.

После приведения подобных слагаемых ($n^3$ и $-n^3$ взаимно уничтожаются) получаем:

$3n^2 - 3n + 1$.

Проанализируем полученное выражение на предмет делимости на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки у первых двух слагаемых:

$3(n^2 - n) + 1$.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ и $n$ также являются целыми числами. Их разность $n^2 - n$ тоже будет целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $k = n^2 - n$.

Тогда наше выражение можно записать в виде $3k + 1$.

Число вида $3k + 1$, где $k$ — целое число, по определению дает остаток 1 при делении на 3. Число делится на 3 нацело (без остатка) только в том случае, если остаток от деления равен 0. Так как в нашем случае остаток всегда равен 1, то выражение $3n^2 - 3n + 1$ никогда не делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что разность кубов любого натурального числа (большего 1) и числа, ему предшествующего, не делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Разность $n^3 - (n-1)^3$ после упрощения равна $3(n^2 - n) + 1$. Это выражение при делении на 3 всегда даёт в остатке 1, а значит, не делится на 3 нацело.