Номер 573, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Параграф 30. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители. Упражнения - номер 573, страница 179.

Условие.

573. Разложить на множители трёхчлен:

1) $x^3 + x^2 - 12$;

2) $a^3 - 7a + 6$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + x^2 - 12$, сначала найдем один из его целочисленных корней. Согласно следствию из теоремы Безу, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. В данном случае делителями числа -12 являются $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим, какое из этих чисел является корнем, подставляя их в многочлен. Начнем с малых значений. Пусть $P(x) = x^3 + x^2 - 12$.

$P(1) = 1^3 + 1^2 - 12 = 1 + 1 - 12 = -10 \neq 0$

$P(2) = 2^3 + 2^2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0$

Поскольку $P(2) = 0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а следовательно, двучлен $(x-2)$ является одним из его множителей. Для дальнейшего разложения воспользуемся методом группировки. Представим многочлен так, чтобы можно было выделить множитель $(x-2)$. Для этого разобьем свободный член -12 на $-8$ и $-4$:

$x^3 + x^2 - 12 = x^3 - 8 + x^2 - 4 = (x^3 - 8) + (x^2 - 4)$

Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к выражению $(x^3 - 8)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению $(x^2 - 4)$:

$(x^3 - 2^3) + (x^2 - 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4) + (x-2)(x+2)$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)((x^2 + 2x + 4) + (x+2))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x-2)(x^2 + 2x + x + 4 + 2) = (x-2)(x^2 + 3x + 6)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 6$. Для этого найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители над полем действительных чисел.

Ответ: $(x-2)(x^2 + 3x + 6)$.

2) Для разложения на множители многочлена $a^3 - 7a + 6$ также начнем с поиска целого корня среди делителей свободного члена 6, то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Пусть $P(a) = a^3 - 7a + 6$. Проверим значение при $a=1$:

$P(1) = 1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$

Так как $P(1)=0$, то $a=1$ является корнем, а $(a-1)$ — одним из множителей. Чтобы выделить этот множитель, представим член $-7a$ в виде суммы $-a - 6a$ и выполним группировку:

$a^3 - 7a + 6 = a^3 - a - 6a + 6$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^3 - a) + (-6a + 6) = a(a^2 - 1) - 6(a - 1)$

Применим формулу разности квадратов к выражению $(a^2 - 1)$:

$a(a-1)(a+1) - 6(a-1)$

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(a(a+1) - 6)$

Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:

$(a-1)(a^2 + a - 6)$

Теперь необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + a - 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$.

Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид:

$a^2 + a - 6 = (a-2)(a-(-3)) = (a-2)(a+3)$

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$(a-1)(a-2)(a+3)$

Ответ: $(a-1)(a-2)(a+3)$.