Номер 566, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

566. Доказать равенство:

1) $x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x + y)(x - y + 2);$

2) $a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b - 1).$

1) Для доказательства равенства $x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x + y)(x - y + 2)$ преобразуем его левую часть, используя метод группировки и формулы сокращенного умножения.
Сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом:
$x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x^2 - y^2) + (2x + 2y)$
Первая группа, $(x^2 - y^2)$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Во второй группе, $(2x + 2y)$, вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x + 2y = 2(x + y)$
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(x - y)(x + y) + 2(x + y)$
Мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки:
$(x + y)((x - y) + 2) = (x + y)(x - y + 2)$
В результате преобразования левая часть равенства стала идентична правой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство $x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x + y)(x - y + 2)$ доказано.

2) Для доказательства равенства $a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b - 1)$ также преобразуем его левую часть.
Сгруппируем слагаемые в левой части так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов:
$a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a^2 - 4b^2) - (a + 2b)$
Первая группа, $(a^2 - 4b^2)$, представляет собой разность квадратов, так как $4b^2 = (2b)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$
Подставим это разложение в сгруппированное выражение:
$(a - 2b)(a + 2b) - (a + 2b)$
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(a + 2b)$:
$(a + 2b)((a - 2b) - 1) = (a + 2b)(a - 2b - 1)$
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Равенство $a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b - 1)$ доказано.