Страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Решить уравнение:

1) $(x-1)(x+3)=0;$

2) $(2x-3)^2=0;$

3) $x^2-2x=0;$

4) $x^2+12x+36=0.$

1) $(x-1)(x+3)=0$

Произведение двух или более множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждую скобку к нулю, чтобы найти корни уравнения.

Первый случай:

$x - 1 = 0$

$x_1 = 1$

Второй случай:

$x + 3 = 0$

$x_2 = -3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-3; 1$.

2) $(2x-3)^2=0$

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение равно нулю. Таким образом, мы можем убрать степень и решить полученное линейное уравнение.

$2x - 3 = 0$

Перенесем константу в правую часть уравнения:

$2x = 3$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1,5$

Уравнение имеет один корень.

Ответ: $1,5$.

3) $x^2-2x=0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x-2) = 0$

Опять же, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Первый случай:

$x_1 = 0$

Второй случай:

$x - 2 = 0$

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 2$.

4) $x^2+12x+36=0$

Это полное квадратное уравнение. Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=6$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Так как он совпадает со средним членом в уравнении, мы можем свернуть выражение:

$x^2+12x+36 = (x+6)^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$(x+6)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю, если само выражение равно нулю.

$x+6=0$

Отсюда находим корень:

$x = -6$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $-6$.

Разложить на множители (559—563).

559.

1) $2a^2 - 2$;

2) $3x^2 - 12$;

3) $9x^3 - 81x$;

4) $16x - 4x^3$;

5) $8 - 72x^6y^2$;

6) $32a^4b - 2a^2b$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $2a^2 - 2$, первым шагом вынесем общий множитель за скобки. В данном случае это 2.

$2a^2 - 2 = 2(a^2 - 1)$

Далее, выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить с помощью формулы $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Здесь $x=a$ и $y=1$.

$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$

Объединяя результаты, получаем окончательное разложение:

$2(a - 1)(a + 1)$

Ответ: $2(a - 1)(a + 1)$

2) Для разложения выражения $3x^2 - 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки.

$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4)$

Выражение в скобках $x^2 - 4$ представляет собой разность квадратов, поскольку $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов.

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, итоговое разложение:

$3(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $3(x - 2)(x + 2)$

3) Разложим на множители $9x^3 - 81x$. Наибольший общий делитель для обоих членов — это $9x$. Вынесем его за скобки.

$9x^3 - 81x = 9x(x^2 - 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 9$ — это разность квадратов, так как $9 = 3^2$.

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$

В результате получаем:

$9x(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $9x(x - 3)(x + 3)$

4) Разложим на множители $16x - 4x^3$. Сначала вынесем общий множитель $4x$.

$16x - 4x^3 = 4x(4 - x^2)$

Выражение в скобках $4 - x^2$ также является разностью квадратов, где $4 = 2^2$.

$4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Окончательный вид разложения:

$4x(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $4x(2 - x)(2 + x)$

5) Для разложения выражения $8 - 72x^6y^2$ вынесем общий множитель 8.

$8 - 72x^6y^2 = 8(1 - 9x^6y^2)$

Выражение в скобках $1 - 9x^6y^2$ является разностью квадратов. Представим его в виде $A^2 - B^2$, где $A=1$ и $B=3x^3y$, поскольку $1=1^2$ и $9x^6y^2 = (3x^3y)^2$.

$1 - 9x^6y^2 = 1^2 - (3x^3y)^2 = (1 - 3x^3y)(1 + 3x^3y)$

Итоговое разложение:

$8(1 - 3x^3y)(1 + 3x^3y)$

Ответ: $8(1 - 3x^3y)(1 + 3x^3y)$

6) Разложим на множители $32a^4b - 2a^2b$. Общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2a^2b$.

$32a^4b - 2a^2b = 2a^2b(16a^2 - 1)$

Выражение в скобках $16a^2 - 1$ является разностью квадратов. Представим его в виде $A^2 - B^2$, где $A=4a$ и $B=1$, так как $16a^2 = (4a)^2$ и $1=1^2$.

$16a^2 - 1 = (4a)^2 - 1^2 = (4a - 1)(4a + 1)$

Окончательное разложение:

$2a^2b(4a - 1)(4a + 1)$

Ответ: $2a^2b(4a - 1)(4a + 1)$

560. 1) $2a^2 + 4ab + 2b^2$;

2) $2m^2 + 2n^2 - 4mn$;

3) $5x^2 + 10xy + 5y^2$;

4) $8p^2 - 16p + 8$;

5) $27a^2b^2 - 18ab + 3$;

6) $12m^5n + 24m^4n + 12m^3n$.

1) $2a^2 + 4ab + 2b^2$
Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель для коэффициентов 2, 4 и 2 равен 2.
$2a^2 + 4ab + 2b^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$2(a+b)^2$
Ответ: $2(a+b)^2$

2) $2m^2 + 2n^2 - 4mn$
Перегруппируем слагаемые для удобства и вынесем общий множитель 2 за скобки.
$2m^2 - 4mn + 2n^2 = 2(m^2 - 2mn + n^2)$
Выражение в скобках $m^2 - 2mn + n^2$ является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x=m$ и $y=n$, поэтому $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$.
Следовательно, получаем:
$2(m-n)^2$
Ответ: $2(m-n)^2$

3) $5x^2 + 10xy + 5y^2$
Вынесем общий множитель 5 за скобки.
$5(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы: $(x+y)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$5(x+y)^2$
Ответ: $5(x+y)^2$

4) $8p^2 - 16p + 8$
Вынесем общий множитель 8 за скобки.
$8(p^2 - 2p + 1)$
Выражение в скобках $p^2 - 2p + 1$ является полным квадратом разности. Его можно представить как $p^2 - 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2$, что соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ при $x=p$ и $y=1$.
Таким образом, $p^2 - 2p + 1 = (p-1)^2$.
В итоге получаем:
$8(p-1)^2$
Ответ: $8(p-1)^2$

5) $27a^2b^2 - 18ab + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки.
$3(9a^2b^2 - 6ab + 1)$
Рассмотрим выражение в скобках $9a^2b^2 - 6ab + 1$. Представим его в виде $(3ab)^2 - 2 \cdot (3ab) \cdot 1 + 1^2$. Это соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2$ при $x=3ab$ и $y=1$.
Следовательно, $9a^2b^2 - 6ab + 1 = (3ab-1)^2$.
Окончательный результат:
$3(3ab-1)^2$
Ответ: $3(3ab-1)^2$

6) $12m^5n + 24m^4n + 12m^3n$
Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 12, 24, 12 это 12. Для переменной $m$ это $m^3$ (наименьшая степень). Для переменной $n$ это $n$. Общий множитель - $12m^3n$.
$12m^3n(m^2 + 2m + 1)$
Выражение в скобках $m^2 + 2m + 1$ является полным квадратом суммы. Его можно представить как $m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2$, что соответствует формуле $(x+y)^2$ при $x=m$ и $y=1$.
Таким образом, $m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2$.
Итоговое выражение:
$12m^3n(m+1)^2$
Ответ: $12m^3n(m+1)^2$

561. 1) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2;$

2) $(x^2 + 2x)^2 - 1;$

3) $4y^2 - (y - c)^2;$

4) $81 - (y^2 + 6y)^2.$

1) $(x^2+1)^2 - 4x^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = x^2+1$ и $b^2 = 4x^2$, следовательно, $b = 2x$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x^2+1)^2 - (2x)^2 = ((x^2+1) - 2x)((x^2+1) + 2x)$

Упростим выражения в скобках, расположив члены в стандартном порядке:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Каждое из полученных выражений в скобках является полным квадратом. Применим формулы квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Первый множитель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Второй множитель: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(x-1)^2(x+1)^2$

Ответ: $(x-1)^2(x+1)^2$

2) $(x^2+2x)^2 - 1$

Выражение $(x^2+2x)^2 - 1$ также является разностью квадратов.

Здесь $a = x^2+2x$ и $b^2 = 1$, откуда $b=1$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2+2x)^2 - 1^2 = ((x^2+2x) - 1)((x^2+2x) + 1)$

Получаем два множителя: $(x^2+2x-1)$ и $(x^2+2x+1)$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Множитель $(x^2+2x+1)$ является полным квадратом суммы: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.

Множитель $(x^2+2x-1)$ является квадратным трехчленом. Для проверки возможности его разложения на множители с целыми коэффициентами найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Так как дискриминант не является точным квадратом, данный трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Собираем итоговое выражение:

$(x^2+2x-1)(x+1)^2$

Ответ: $(x^2+2x-1)(x+1)^2$

3) $4y^2 - (y-c)^2$

Это выражение также представляет собой разность квадратов.

Представим $4y^2$ как $(2y)^2$. Тогда выражение примет вид $(2y)^2 - (y-c)^2$.

Здесь $a = 2y$ и $b = y-c$.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2y - (y-c))(2y + (y-c))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения:

$(2y - y + c)(2y + y - c)$

$(y+c)(3y-c)$

Ответ: $(y+c)(3y-c)$

4) $81 - (y^2+6y)^2$

Выражение $81 - (y^2+6y)^2$ является разностью квадратов.

Представим $81$ как $9^2$. Выражение примет вид $9^2 - (y^2+6y)^2$.

Здесь $a = 9$ и $b = y^2+6y$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(9 - (y^2+6y))(9 + (y^2+6y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(9 - y^2 - 6y)(9 + y^2 + 6y)$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Второй множитель $(y^2+6y+9)$ является полным квадратом суммы: $y^2+6y+9 = (y+3)^2$.

Первый множитель $(9 - y^2 - 6y)$ является квадратным трехчленом. Его дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 9 = 36 + 36 = 72$. Так как дискриминант не является точным квадратом, данный трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, итоговое разложение на множители:

$(9 - y^2 - 6y)(y+3)^2$

Ответ: $(9 - y^2 - 6y)(y+3)^2$

562. 1) $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2;$

2) $1 - (x^2 - 2xy + y^2);$

3) $1 - a^2 - 2ab - b^2;$

4) $4 - x^2 - 2xy - y^2.$

1) В выражении $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$ заметим, что выражение в скобках является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Применяя эту формулу, получаем:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(a+b)^2 - c^2$

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+b$ и $y = c$.

$(a+b)^2 - c^2 = ((a+b) - c)((a+b) + c) = (a+b-c)(a+b+c)$

Ответ: $(a+b-c)(a+b+c)$

2) Рассмотрим выражение $1 - (x^2 - 2xy + y^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Применяя эту формулу, получаем:

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

Подставим это в исходное выражение:

$1 - (x-y)^2$

Представим $1$ как $1^2$, чтобы получить разность квадратов:

$1^2 - (x-y)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 1$ и $b = x-y$:

$1^2 - (x-y)^2 = (1 - (x-y))(1 + (x-y)) = (1-x+y)(1+x-y)$

Ответ: $(1-x+y)(1+x-y)$

3) В выражении $1 - a^2 - 2ab - b^2$ сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки:

$1 - (a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 + 2ab + b^2$, является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$1 - (a+b)^2$

Представим $1$ как $1^2$, чтобы получить разность квадратов:

$1^2 - (a+b)^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=1$ и $y=a+b$:

$1^2 - (a+b)^2 = (1 - (a+b))(1 + (a+b)) = (1-a-b)(1+a+b)$

Ответ: $(1-a-b)(1+a+b)$

4) В выражении $4 - x^2 - 2xy - y^2$ сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки:

$4 - (x^2 + 2xy + y^2)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2xy + y^2$, является полным квадратом суммы $(x+y)^2$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$4 - (x+y)^2$

Представим $4$ как $2^2$, чтобы получить разность квадратов:

$2^2 - (x+y)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=2$ и $b=x+y$:

$2^2 - (x+y)^2 = (2 - (x+y))(2 + (x+y)) = (2-x-y)(2+x+y)$

Ответ: $(2-x-y)(2+x+y)$

563. 1) $a^2 - b^2 + a + b$;

2) $a^2 - b^2 - a - b$;

3) $x - y - x^2 + y^2$;

4) $x^3 + x^2 - x - 1$;

5) $m^5 - m^3 + m^2 - 1$;

6) $x^4 - x^3 + x - 1$.

1) $a^2 - b^2 + a + b$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сначала применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$a^2 - b^2 + a + b = (a^2 - b^2) + (a+b) = (a-b)(a+b) + (a+b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a-b)(a+b) + 1 \cdot (a+b) = (a+b)(a-b+1)$

Ответ: $(a+b)(a-b+1)$

2) $a^2 - b^2 - a - b$

Сгруппируем слагаемые. Используем формулу разности квадратов для $a^2 - b^2$ и вынесем знак минус из второй группы слагаемых.

$a^2 - b^2 - a - b = (a^2 - b^2) - (a+b) = (a-b)(a+b) - (a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a-b)(a+b) - 1 \cdot (a+b) = (a+b)(a-b-1)$

Ответ: $(a+b)(a-b-1)$

3) $x - y - x^2 + y^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$x - y - x^2 + y^2 = (x-y) - (x^2 - y^2)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(x-y) - (x-y)(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(1 - (x+y)) = (x-y)(1-x-y)$

Ответ: $(x-y)(1-x-y)$

4) $x^3 + x^2 - x - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^3 + x^2) - (x + 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x+1) - 1(x+1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2-1)$

Выражение $x^2-1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x-1)(x+1)$:

$(x+1)(x-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$

Ответ: $(x-1)(x+1)^2$

5) $m^5 - m^3 + m^2 - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(m^5 - m^3) + (m^2 - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^3(m^2 - 1) + 1(m^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(m^2-1)$ за скобки:

$(m^2-1)(m^3+1)$

Теперь разложим каждый из множителей. $m^2-1$ — это разность квадратов, а $m^3+1$ — это сумма кубов.

$m^2-1 = (m-1)(m+1)$

$m^3+1 = (m+1)(m^2-m+1)$

Подставим разложенные множители в исходное выражение:

$(m-1)(m+1)(m+1)(m^2-m+1) = (m-1)(m+1)^2(m^2-m+1)$

Ответ: $(m-1)(m+1)^2(m^2-m+1)$

6) $x^4 - x^3 + x - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^4 - x^3) + (x - 1)$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$x^3(x-1) + 1(x-1)$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(x^3+1)$

Выражение $x^3+1$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

Подставим разложение в наше выражение:

$(x-1)(x+1)(x^2-x+1)$

Ответ: $(x-1)(x+1)(x^2-x+1)$

Вычислить (564–565).

564.

1) $\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}$;

2) $\frac{38^2 - 17^2}{47^2 - 19^2}$;

3) $\frac{49^2 - 2 \cdot 49 \cdot 29 + 29^2}{49^2 - 19^2}$;

4) $\frac{47^2 - 3^2}{27^2 + 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80$.

Знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и сократим дробь:

$\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2} = \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} = \frac{26}{130} \cdot \frac{80}{28} = \frac{1}{5} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$

2) Аналогично первому примеру, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $38^2 - 17^2 = (38 - 17)(38 + 17) = 21 \cdot 55$.

Знаменатель: $47^2 - 19^2 = (47 - 19)(47 + 19) = 28 \cdot 66$.

Подставляем значения и сокращаем полученную дробь:

$\frac{38^2 - 17^2}{47^2 - 19^2} = \frac{21 \cdot 55}{28 \cdot 66} = \frac{21}{28} \cdot \frac{55}{66} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

3) В этом примере мы используем две формулы сокращенного умножения. Для числителя — квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для знаменателя — разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Преобразуем числитель: $49^2 - 2 \cdot 49 \cdot 29 + 29^2 = (49 - 29)^2 = 20^2 = 400$.

Преобразуем знаменатель: $49^2 - 19^2 = (49 - 19)(49 + 19) = 30 \cdot 68 = 2040$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{400}{2040} = \frac{40}{204} = \frac{10}{51}$.

Ответ: $\frac{10}{51}$

4) Здесь также применяются две формулы. Для числителя — разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Для знаменателя — квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Преобразуем числитель: $47^2 - 3^2 = (47 - 3)(47 + 3) = 44 \cdot 50 = 2200$.

Преобразуем знаменатель: $27^2 + 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2 = (27 + 13)^2 = 40^2 = 1600$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{2200}{1600} = \frac{22}{16} = \frac{11}{8}$.

Ответ: $\frac{11}{8}$

565. 1) $19,7^2 - 8,3^2 + 28 \cdot 8,6;$

2) $37 \cdot 12,2 + 22,4^2 - 14,6^2;$

3) $38,8^2 + 83 \cdot 15,4 - 44,2^2;$

4) $97 \cdot 2,2 - 99,6^2 + 2,6^2.$

1) $19,7^2 - 8,3^2 + 28 \cdot 8,6$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первых двух слагаемых.

$19,7^2 - 8,3^2 = (19,7 - 8,3)(19,7 + 8,3) = 11,4 \cdot 28$.

Подставим результат в исходное выражение:

$11,4 \cdot 28 + 28 \cdot 8,6$.

Теперь вынесем общий множитель $28$ за скобки:

$28 \cdot (11,4 + 8,6) = 28 \cdot 20 = 560$.

Ответ: $560$

2) $37 \cdot 12,2 + 22,4^2 - 14,6^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для последних двух слагаемых.

$22,4^2 - 14,6^2 = (22,4 - 14,6)(22,4 + 14,6) = 7,8 \cdot 37$.

Подставим результат в исходное выражение:

$37 \cdot 12,2 + 7,8 \cdot 37$.

Теперь вынесем общий множитель $37$ за скобки:

$37 \cdot (12,2 + 7,8) = 37 \cdot 20 = 740$.

Ответ: $740$

3) $38,8^2 + 83 \cdot 15,4 - 44,2^2$

Сначала сгруппируем слагаемые, чтобы удобно применить формулу разности квадратов:

$(38,8^2 - 44,2^2) + 83 \cdot 15,4$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$38,8^2 - 44,2^2 = (38,8 - 44,2)(38,8 + 44,2) = -5,4 \cdot 83$.

Подставим результат в выражение:

$-5,4 \cdot 83 + 83 \cdot 15,4$.

Теперь вынесем общий множитель $83$ за скобки:

$83 \cdot (-5,4 + 15,4) = 83 \cdot 10 = 830$.

Ответ: $830$

4) $97 \cdot 2,2 - 99,6^2 + 2,6^2$

Сначала сгруппируем слагаемые, чтобы удобно применить формулу разности квадратов:

$97 \cdot 2,2 + (2,6^2 - 99,6^2)$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$2,6^2 - 99,6^2 = (2,6 - 99,6)(2,6 + 99,6) = -97 \cdot 102,2$.

Подставим результат в выражение:

$97 \cdot 2,2 - 97 \cdot 102,2$.

Теперь вынесем общий множитель $97$ за скобки:

$97 \cdot (2,2 - 102,2) = 97 \cdot (-100) = -9700$.

Ответ: $-9700$

566. Доказать равенство:

1) $x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x + y)(x - y + 2);$

2) $a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b - 1).$

1) Для доказательства равенства $x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x + y)(x - y + 2)$ преобразуем его левую часть, используя метод группировки и формулы сокращенного умножения.
Сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом:
$x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x^2 - y^2) + (2x + 2y)$
Первая группа, $(x^2 - y^2)$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Во второй группе, $(2x + 2y)$, вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x + 2y = 2(x + y)$
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(x - y)(x + y) + 2(x + y)$
Мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки:
$(x + y)((x - y) + 2) = (x + y)(x - y + 2)$
В результате преобразования левая часть равенства стала идентична правой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство $x^2 + 2x - y^2 + 2y = (x + y)(x - y + 2)$ доказано.

2) Для доказательства равенства $a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b - 1)$ также преобразуем его левую часть.
Сгруппируем слагаемые в левой части так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов:
$a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a^2 - 4b^2) - (a + 2b)$
Первая группа, $(a^2 - 4b^2)$, представляет собой разность квадратов, так как $4b^2 = (2b)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$
Подставим это разложение в сгруппированное выражение:
$(a - 2b)(a + 2b) - (a + 2b)$
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(a + 2b)$:
$(a + 2b)((a - 2b) - 1) = (a + 2b)(a - 2b - 1)$
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Равенство $a^2 - 2b - a - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b - 1)$ доказано.

567. Найти значение выражения:

1) $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$ при $x = 12,07, y = 2,07;$

2) $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$ при $a = 7,37, b = 2,63.$

1) Чтобы найти значение выражения $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$ при $x=12,07$ и $y=2,07$, сначала упростим его, применив метод группировки и вынесения общего множителя за скобки.

Сгруппируем члены: $(x^3 - x^2y) + (-xy^2 + y^3)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы: $x^2(x - y) - y^2(x - y)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$: $(x - y)(x^2 - y^2)$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и получим: $(x - y)(x - y)(x + y) = (x - y)^2(x + y)$.

Теперь подставим числовые значения $x = 12,07$ и $y = 2,07$ в упрощенное выражение:

$x - y = 12,07 - 2,07 = 10$

$x + y = 12,07 + 2,07 = 14,14$

Вычисляем значение: $(10)^2 \cdot 14,14 = 100 \cdot 14,14 = 1414$.

Ответ: 1414.

2) Чтобы найти значение выражения $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$ при $a=7,37$ и $b=2,63$, также сначала упростим его.

Сгруппируем члены: $(a^3 + a^2b) - (ab^2 + b^3)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы: $a^2(a + b) - b^2(a + b)$.

Вынесем общий множитель $(a + b)$: $(a + b)(a^2 - b^2)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и получим: $(a + b)(a - b)(a + b) = (a - b)(a + b)^2$.

Теперь подставим числовые значения $a = 7,37$ и $b = 2,63$ в упрощенное выражение:

$a + b = 7,37 + 2,63 = 10$

$a - b = 7,37 - 2,63 = 4,74$

Вычисляем значение: $4,74 \cdot (10)^2 = 4,74 \cdot 100 = 474$.

Ответ: 474.

568. Решить уравнение:

1) $2x^2 - 10x + x^2 - 25 = 0$;

2) $x^2 + 4x + 4 - 16x^2 = 0$;

3) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$;

4) $2x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$.

Дано уравнение $2x^2 - 10x + x^2 - 25 = 0$.
Сначала приведем подобные слагаемые: $(2x^2 + x^2) - 10x - 25 = 0$ $3x^2 - 10x - 25 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=-10$, $c=-25$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{400} = 20$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-10) + 20}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-(-10) - 20}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $5; -\frac{5}{3}$.

Дано уравнение $x^2 + 4x + 4 - 16x^2 = 0$.
Заметим, что первые три члена $x^2 + 4x + 4$ представляют собой формулу квадрата суммы: $(x+2)^2$.
Также, член $16x^2$ можно представить как $(4x)^2$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$(x+2)^2 - (4x)^2 = 0$
Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+2$ и $b = 4x$.
Разложим левую часть на множители:
$((x+2) - 4x)((x+2) + 4x) = 0$
$(2 - 3x)(5x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x_1 = \frac{2}{3}$
или
$5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{3}; -\frac{2}{5}$.

Дано уравнение $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) + (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x - 1)(x^4 - 2x^2 + 1) = 0$
Выражение во второй скобке $x^4 - 2x^2 + 1$ является полным квадратом: $(x^2 - 1)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 1)(x^2 - 1)^2 = 0$
Разложим $x^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$(x - 1)((x - 1)(x + 1))^2 = 0$
$(x - 1)(x - 1)^2(x + 1)^2 = 0$
$(x - 1)^3(x + 1)^2 = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
или
$(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Ответ: $1; -1$.

Дано уравнение $2x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$.
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x^3 - x^2 - x + 1) = 0$
Отсюда следует, что либо $2x=0$, либо $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$.
Первый корень: $2x=0 \implies x_1 = 0$.
Теперь решим кубическое уравнение $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$, сгруппировав слагаемые:
$(x^3 - x^2) - (x - 1) = 0$
$x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)(x^2 - 1) = 0$
Разложим $x^2-1$ на множители по формуле разности квадратов:
$(x-1)(x-1)(x+1) = 0$
$(x-1)^2(x+1) = 0$
Отсюда находим остальные корни:
$(x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x_2 = 1$
или
$x+1=0 \implies x_3 = -1$
Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 1; -1$.

569. Доказать, что число $27^2 - 14^2$ делится на 13.

Чтобы доказать, что число $27^2 - 14^2$ делится на 13, можно рассмотреть два способа решения.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов

Данный способ является наиболее рациональным и основывается на применении формулы сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к исходному выражению, где $a = 27$ и $b = 14$:

$27^2 - 14^2 = (27 - 14)(27 + 14)$

Теперь вычислим значения в каждой из скобок:

$27 - 14 = 13$

$27 + 14 = 41$

Подставим полученные значения обратно в разложение на множители:

$27^2 - 14^2 = 13 \cdot 41$

Мы представили число $27^2 - 14^2$ в виде произведения, где один из множителей равен 13. Согласно свойству делимости, если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. Так как 13 делится на 13, то и произведение $13 \cdot 41$ делится на 13. Что и требовалось доказать.

Способ 2: Прямое вычисление

Этот способ заключается в непосредственном вычислении значения выражения и последующей проверке его делимости на 13.

Сначала возведем числа в квадрат:

$27^2 = 729$

$14^2 = 196$

Далее найдем их разность:

$729 - 196 = 533$

Теперь проверим, делится ли полученное число 533 на 13:

$533 \div 13 = 41$

Деление выполняется нацело, что также доказывает, что число $27^2 - 14^2$ делится на 13.

Ответ: Утверждение доказано.