Номер 2, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Параграф 30. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители. Вводные упражнения - номер 2, страница 178.

Условие.

2. Решить уравнение:

1) $(x-1)(x+3)=0;$

2) $(2x-3)^2=0;$

3) $x^2-2x=0;$

4) $x^2+12x+36=0.$

Решение 1.

Решение 5.

1) $(x-1)(x+3)=0$

Произведение двух или более множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждую скобку к нулю, чтобы найти корни уравнения.

Первый случай:

$x - 1 = 0$

$x_1 = 1$

Второй случай:

$x + 3 = 0$

$x_2 = -3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-3; 1$.

2) $(2x-3)^2=0$

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение равно нулю. Таким образом, мы можем убрать степень и решить полученное линейное уравнение.

$2x - 3 = 0$

Перенесем константу в правую часть уравнения:

$2x = 3$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1,5$

Уравнение имеет один корень.

Ответ: $1,5$.

3) $x^2-2x=0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x-2) = 0$

Опять же, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Первый случай:

$x_1 = 0$

Второй случай:

$x - 2 = 0$

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 2$.

4) $x^2+12x+36=0$

Это полное квадратное уравнение. Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=6$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Так как он совпадает со средним членом в уравнении, мы можем свернуть выражение:

$x^2+12x+36 = (x+6)^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$(x+6)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю, если само выражение равно нулю.

$x+6=0$

Отсюда находим корень:

$x = -6$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $-6$.