Номер 557, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

557. Разложить многочлен на множители:

1) $125 + 75a + 15a^2 + a^3;$

2) $m^3 - 12m^2 + 48m - 64;$

3) $x^6 - 3x^4y + 3x^2y^2 - y^3;$

4) $c^6 + 3c^4d^2 + 3c^2d^4 + d^6.$

1) $125 + 75a + 15a^2 + a^3$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Сначала переставим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $a$:

$a^3 + 15a^2 + 75a + 125$

Теперь сравним полученное выражение с формулой. Пусть $x = a$ и $y^3 = 125$, тогда $y=5$.

Проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена этой подстановке:

Первый член: $x^3 = a^3$.

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 5 = 15a^2$.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 5^2 = 3 \cdot a \cdot 25 = 75a$.

Четвертый член: $y^3 = 5^3 = 125$.

Все члены многочлена совпадают с разложением $(a+5)^3$. Таким образом, мы можем записать:

$125 + 75a + 15a^2 + a^3 = (5+a)^3$.

Ответ: $(5+a)^3$.

2) $m^3 - 12m^2 + 48m - 64$

Этот многочлен можно разложить с помощью формулы куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Сравним наше выражение с формулой. Пусть $x=m$ и $y^3=64$, тогда $y=4$.

Проверим члены многочлена:

Первый член: $x^3 = m^3$.

Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot m^2 \cdot 4 = -12m^2$.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot m \cdot 4^2 = 3 \cdot m \cdot 16 = 48m$.

Четвертый член: $-y^3 = -4^3 = -64$.

Все члены совпадают, следовательно, многочлен является разложением куба разности $(m-4)^3$.

$m^3 - 12m^2 + 48m - 64 = (m-4)^3$.

Ответ: $(m-4)^3$.

3) $x^6 - 3x^4y + 3x^2y^2 - y^3$

Данный многочлен также можно разложить по формуле куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Определим, чему равны $A$ и $B$. Из первого члена $A^3 = x^6$, получаем $A = x^2$. Из последнего члена $-B^3 = -y^3$, получаем $B=y$.

Проверим средние члены, подставив $A=x^2$ и $B=y$:

Второй член: $-3A^2B = -3(x^2)^2y = -3x^4y$. Совпадает.

Третий член: $3AB^2 = 3(x^2)(y^2) = 3x^2y^2$. Совпадает.

Таким образом, многочлен представляет собой разложение куба разности $(x^2-y)^3$.

$x^6 - 3x^4y + 3x^2y^2 - y^3 = (x^2-y)^3$.

Ответ: $(x^2-y)^3$.

4) $c^6 + 3c^4d^2 + 3c^2d^4 + d^6$

Этот многочлен можно разложить по формуле куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

Определим $A$ и $B$. Из первого члена $A^3 = c^6$, получаем $A = c^2$. Из последнего члена $B^3 = d^6$, получаем $B = d^2$.

Проверим средние члены, подставив $A=c^2$ и $B=d^2$:

Второй член: $3A^2B = 3(c^2)^2(d^2) = 3c^4d^2$. Совпадает.

Третий член: $3AB^2 = 3(c^2)(d^2)^2 = 3c^2d^4$. Совпадает.

Следовательно, многочлен является разложением куба суммы $(c^2+d^2)^3$.

$c^6 + 3c^4d^2 + 3c^2d^4 + d^6 = (c^2+d^2)^3$.

Ответ: $(c^2+d^2)^3$.