Номер 553, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

553. Доказать, что:

1) $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $;

2) $ (-a-b)^2 = (a+b)^2 $;

3) $ (-a-b)(a+b) = -(a+b)^2 $;

4) $ (a-b)^3 = -(b-a)^3 $;

5) $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $.

1) Для доказательства тождества $(a-b)^2 = (b-a)^2$ преобразуем правую часть. В выражении $(b-a)$ вынесем за скобку множитель $-1$: $b-a = -(a-b)$. Тогда правая часть равенства примет вид:
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (-1 \cdot (a-b))^2$
Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем:
$(-1)^2 \cdot (a-b)^2 = 1 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$
Таким образом, правая часть тождественно равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(-a-b)^2 = (a+b)^2$ преобразуем левую часть. В выражении $(-a-b)$ вынесем за скобку множитель $-1$: $-a-b = -(a+b)$. Тогда левая часть равенства примет вид:
$(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (-1 \cdot (a+b))^2$
Используя свойство степени, получаем:
$(-1)^2 \cdot (a+b)^2 = 1 \cdot (a+b)^2 = (a+b)^2$
Таким образом, левая часть тождественно равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(-a-b)(a+b) = -(a+b)^2$ преобразуем левую часть. В первом множителе $(-a-b)$ вынесем за скобку $-1$:
$(-a-b) = -1 \cdot (a+b)$
Подставим это выражение в левую часть равенства:
$(-1 \cdot (a+b))(a+b) = -(a+b)(a+b) = -(a+b)^2$
Таким образом, левая часть тождественно равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(a-b)^3 = -(b-a)^3$ преобразуем правую часть. В выражении $(b-a)$ вынесем за скобку $-1$: $b-a = -(a-b)$. Тогда правая часть равенства примет вид:
$-(b-a)^3 = -(-(a-b))^3 = -(-1 \cdot (a-b))^3$
Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем:
$-((-1)^3 \cdot (a-b)^3)$
Так как $(-1)^3 = -1$, выражение становится равным:
$-(-1 \cdot (a-b)^3) = (a-b)^3$
Таким образом, правая часть тождественно равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

5) Для доказательства тождества $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ раскроем скобки в левой части. Сгруппируем слагаемые и применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Пусть $x=a+b$ и $y=c$:
$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$2(a+b)c = 2ac+2bc$
Подставим полученные выражения обратно:
$(a^2+2ab+b^2) + (2ac+2bc) + c^2$
Перегруппируем слагаемые для соответствия правой части исходного тождества:
$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
Таким образом, левая часть тождественно равна правой.
Ответ: Тождество доказано.