Номер 552, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Квадрат суммы. Квадрат разности. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 552, страница 174.

Условие.

552. Упростить выражение:

1) $(x - y)^2 + (x + y)^2;$

2) $(x + y)^2 - (x - y)^2;$

3) $(2a + b)^2 - (2a - b)^2;$

4) $(2a + b)^2 + (2a - b)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения выражения $(x-y)^2+(x+y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем скобки, применяя эти формулы:

$(x-y)^2+(x+y)^2 = (x^2-2xy+y^2) + (x^2+2xy+y^2)$

Теперь уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2 = (x^2+x^2) + (-2xy+2xy) + (y^2+y^2) = 2x^2+0+2y^2 = 2x^2+2y^2$

Ответ: $2x^2+2y^2$

2) Для упрощения выражения $(x+y)^2-(x-y)^2$ используем те же формулы сокращенного умножения.

Раскроем скобки:

$(x+y)^2-(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2)$

При раскрытии вторых скобок, перед которыми стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 = (x^2-x^2) + (2xy+2xy) + (y^2-y^2) = 0+4xy+0 = 4xy$

Альтернативный способ — использовать формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=x+y$ и $B=x-y$:

$((x+y)-(x-y))((x+y)+(x-y)) = (x+y-x+y)(x+y+x-y) = (2y)(2x) = 4xy$

Ответ: $4xy$

3) Выражение $(2a+b)^2 - (2a-b)^2$ имеет ту же структуру, что и выражение в пункте 2. Это разность квадратов. Можно применить результат из пункта 2: $(x+y)^2-(x-y)^2 = 4xy$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=b$. Подставим эти значения в результат:

$4 \cdot (2a) \cdot b = 8ab$

Проверим, раскрыв скобки:

$(2a+b)^2 - (2a-b)^2 = ((2a)^2+2 \cdot 2a \cdot b+b^2) - ((2a)^2-2 \cdot 2a \cdot b+b^2) = (4a^2+4ab+b^2) - (4a^2-4ab+b^2)$

$4a^2+4ab+b^2 - 4a^2+4ab-b^2 = (4a^2-4a^2) + (4ab+4ab) + (b^2-b^2) = 8ab$

Ответ: $8ab$

4) Выражение $(2a+b)^2 + (2a-b)^2$ по своей структуре аналогично выражению из пункта 1. Это сумма квадратов. Применим результат из пункта 1: $(x+y)^2+(x-y)^2 = 2x^2+2y^2$.

Здесь $x=2a$ и $y=b$. Подставим эти значения:

$2(2a)^2+2b^2 = 2(4a^2)+2b^2 = 8a^2+2b^2$

Проверим, раскрыв скобки:

$(2a+b)^2 + (2a-b)^2 = ((2a)^2+2 \cdot 2a \cdot b+b^2) + ((2a)^2-2 \cdot 2a \cdot b+b^2) = (4a^2+4ab+b^2) + (4a^2-4ab+b^2)$

$4a^2+4ab+b^2 + 4a^2-4ab+b^2 = (4a^2+4a^2) + (4ab-4ab) + (b^2+b^2) = 8a^2+2b^2$

Ответ: $8a^2+2b^2$