Номер 545, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Квадрат суммы. Квадрат разности. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 545, страница 173.

Условие.

545. 1) $m^4 - 3m^2 + x;$

2) $a^2 + ab + x;$

3) $4a^2 - 5a + x;$

4) $x + 6a + 9a^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $m^4 - 3m^2 + x$

Для того чтобы данное выражение стало полным квадратом (квадратом двучлена), оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ или $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Так как второй член выражения отрицательный ($-3m^2$), мы будем использовать формулу квадрата разности.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $m^4$. Следовательно, $A = \sqrt{m^4} = m^2$.

2. Удвоенное произведение первого члена на второй, $-2AB$, равно $-3m^2$.

3. Подставим найденное значение $A = m^2$ в формулу для второго члена: $-2 \cdot (m^2) \cdot B = -3m^2$.

4. Решим это уравнение относительно $B$: $B = \frac{-3m^2}{-2m^2} = \frac{3}{2}$.

5. Неизвестный член $x$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $x = B^2$.

6. Вычисляем $x$: $x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Таким образом, выражение принимает вид $m^4 - 3m^2 + \frac{9}{4}$, что является полным квадратом двучлена $(m^2 - \frac{3}{2})^2$.

Ответ: $x = \frac{9}{4}$.

2) $a^2 + ab + x$

Данное выражение должно соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, так как второй член ($ab$) положительный.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{a^2} = a$.

2. Удвоенное произведение первого члена на второй, $2AB$, равно $ab$.

3. Подставим $A = a$ в это равенство: $2 \cdot a \cdot B = ab$.

4. Решим уравнение относительно $B$: $B = \frac{ab}{2a} = \frac{b}{2}$.

5. Неизвестный член $x$ должен быть равен $B^2$.

6. Вычисляем $x$: $x = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Полученное выражение $a^2 + ab + \frac{b^2}{4}$ является полным квадратом двучлена $(a + \frac{b}{2})^2$.

Ответ: $x = \frac{b^2}{4}$.

3) $4a^2 - 5a + x$

Выражение должно соответствовать формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, так как второй член ($-5a$) отрицательный.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $4a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{4a^2} = 2a$.

2. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-5a$.

3. Подставим $A = 2a$ в это равенство: $-2 \cdot (2a) \cdot B = -5a$, или $-4aB = -5a$.

4. Находим $B$: $B = \frac{-5a}{-4a} = \frac{5}{4}$.

5. Член $x$ должен быть равен $B^2$.

6. Вычисляем $x$: $x = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$.

Выражение $4a^2 - 5a + \frac{25}{16}$ является полным квадратом двучлена $(2a - \frac{5}{4})^2$.

Ответ: $x = \frac{25}{16}$.

4) $x + 6a + 9a^2$

Перепишем выражение в стандартном порядке убывания степеней переменной $a$: $9a^2 + 6a + x$. Это выражение должно соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В этом случае $x$ является третьим членом, который мы обозначим как $B^2$.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $9a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{9a^2} = 3a$.

2. Удвоенное произведение $2AB$ равно $6a$.

3. Подставим $A = 3a$: $2 \cdot (3a) \cdot B = 6a$, или $6aB = 6a$.

4. Находим $B$: $B = \frac{6a}{6a} = 1$.

5. В нашем выражении $x$ находится на месте первого члена, но по формуле он соответствует $B^2$. Давайте по-другому. Пусть $A^2=9a^2$ и $2AB=6a$. Тогда $A=3a$ и $2(3a)B=6a$, откуда $B=1$. Тогда член, не содержащий $a$, должен быть $B^2=1^2=1$. Этим членом является $x$. Значит $x=1$.
Либо пусть $A^2=x$ и $B^2=9a^2$. Тогда $B=3a$. Средний член $2AB$ равен $2 \cdot A \cdot 3a = 6aA$. По условию он равен $6a$. Значит $6aA=6a$, откуда $A=1$. Тогда $x=A^2=1^2=1$. Оба подхода дают одинаковый результат.

6. Вычисляем $x$: $x = 1$.

Выражение $9a^2 + 6a + 1$ является полным квадратом двучлена $(3a + 1)^2$.

Ответ: $x = 1$.