Номер 546, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Разложите на множители многочлен (546—550).

546.

1) $9a^2 - 6a + 1;$

2) $1 + 2c + c^2;$

3) $36b^2 + 12b + 1;$

4) $81 - 18x + x^2.$

1) Для разложения многочлена $9a^2 - 6a + 1$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении можно заметить, что:

первый член является квадратом выражения $3a$, то есть $9a^2 = (3a)^2$.

третий член является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

второй член является удвоенным произведением выражений $3a$ и $1$ со знаком минус: $-6a = -2 \cdot 3a \cdot 1$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом разности.

$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2$.

Ответ: $(3a - 1)^2$.

2) Для разложения многочлена $1 + 2c + c^2$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении:

первый член является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

третий член является квадратом выражения $c$, то есть $c^2 = (c)^2$.

второй член является удвоенным произведением $1$ и $c$: $2c = 2 \cdot 1 \cdot c$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом суммы.

$1 + 2c + c^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c + c^2 = (1 + c)^2$.

Ответ: $(1 + c)^2$.

3) Для разложения многочлена $36b^2 + 12b + 1$ на множители воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении:

первый член является квадратом выражения $6b$, то есть $36b^2 = (6b)^2$.

третий член является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

второй член является удвоенным произведением $6b$ и $1$: $12b = 2 \cdot 6b \cdot 1$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом суммы.

$36b^2 + 12b + 1 = (6b)^2 + 2 \cdot 6b \cdot 1 + 1^2 = (6b + 1)^2$.

Ответ: $(6b + 1)^2$.

4) Для разложения многочлена $81 - 18x + x^2$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении:

первый член является квадратом числа $9$, то есть $81 = 9^2$.

третий член является квадратом выражения $x$, то есть $x^2 = (x)^2$.

второй член является удвоенным произведением $9$ и $x$ со знаком минус: $-18x = -2 \cdot 9 \cdot x$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом разности.

$81 - 18x + x^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot x + x^2 = (9 - x)^2$.

Ответ: $(9 - x)^2$.