Номер 549, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

549. 1) $a^4 - 8a^2 + 16$;

2) $b^4 - 18b^2 + 81$;

3) $25a^4 - 10a^2b + b^2$;

4) $16 - 8a^2b^2 + a^4b^4$.

1) Данное выражение $a^4 - 8a^2 + 16$ является трехчленом. Попробуем представить его в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$a^4 = (a^2)^2$
$16 = 4^2$
Таким образом, можно предположить, что $x = a^2$ и $y = 4$.
Теперь проверим, соответствует ли удвоенное произведение этих членов среднему члену исходного выражения:
$2xy = 2 \cdot a^2 \cdot 4 = 8a^2$.
Средний член выражения равен $-8a^2$, что соответствует $-2xy$.
Следовательно, выражение является полным квадратом разности:
$a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = (a^2 - 4)^2$.
Ответ: $(a^2 - 4)^2$.

2) Рассмотрим выражение $b^4 - 18b^2 + 81$. Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член: $b^4 = (b^2)^2$.
Третий член: $81 = 9^2$.
Положим $x = b^2$ и $y = 9$.
Проверим средний член. Удвоенное произведение $2xy$ должно быть равно $18b^2$:
$2 \cdot b^2 \cdot 9 = 18b^2$.
Поскольку средний член в выражении имеет знак минус ($-18b^2$), мы используем формулу квадрата разности.
$b^4 - 18b^2 + 81 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 9 + 9^2 = (b^2 - 9)^2$.
Ответ: $(b^2 - 9)^2$.

3) Рассмотрим выражение $25a^4 - 10a^2b^2 + b^4$. Оно также похоже на полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$25a^4 = (5a^2)^2$
$b^4 = (b^2)^2$
Следовательно, можно положить, что $x = 5a^2$ и $y = b^2$.
Проверим средний член. Удвоенное произведение $2xy$ должно соответствовать $10a^2b^2$:
$2 \cdot (5a^2) \cdot (b^2) = 10a^2b^2$.
Так как в исходном выражении средний член имеет знак минус ($-10a^2b^2$), мы применяем формулу квадрата разности.
$25a^4 - 10a^2b^2 + b^4 = (5a^2)^2 - 2 \cdot 5a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = (5a^2 - b^2)^2$.
Ответ: $(5a^2 - b^2)^2$.

4) Рассмотрим выражение $16 - 8a^2b^2 + a^4b^4$. Это трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член выражения: $16 = 4^2$.
Третий член выражения: $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$.
Положим $x = 4$ и $y = a^2b^2$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2xy$ среднему члену выражения (без учета знака).
$2 \cdot 4 \cdot a^2b^2 = 8a^2b^2$.
Средний член в исходном выражении равен $-8a^2b^2$, что соответствует $-2xy$.
Следовательно, выражение является полным квадратом разности:
$16 - 8a^2b^2 + a^4b^4 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot a^2b^2 + (a^2b^2)^2 = (4 - a^2b^2)^2$.
Ответ: $(4 - a^2b^2)^2$.