Номер 548, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Квадрат суммы. Квадрат разности. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 548, страница 173.

Условие.

548. 1) $x^4 + 2x^2y + y^2;$

2) $p^4 - 2p^2q + q^2;$

3) $4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6;$

4) $25a^6 + 30a^3b + 9b^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Данный многочлен $x^4 + 2x^2y + y^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
В нашем случае:
Первый член $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, следовательно, $A = x^2$.
Третий член $B^2 = y^2$, следовательно, $B = y$.
Проверим средний член (удвоенное произведение): $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$.
Так как все члены совпадают с формулой, мы можем свернуть выражение в квадрат суммы:
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2 + y)^2$.
Ответ: $(x^2 + y)^2$.

2) Данный многочлен $p^4 - 2p^2q + q^2$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
В нашем случае:
Первый член $A^2 = p^4 = (p^2)^2$, следовательно, $A = p^2$.
Третий член $B^2 = q^2$, следовательно, $B = q$.
Проверим средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $-2AB = -2 \cdot p^2 \cdot q = -2p^2q$.
Так как все члены совпадают с формулой, мы можем свернуть выражение в квадрат разности:
$p^4 - 2p^2q + q^2 = (p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q + q^2 = (p^2 - q)^2$.
Ответ: $(p^2 - q)^2$.

3) Рассмотрим многочлен $4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6$. Это полный квадрат суммы. Применим формулу $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Определим A и B:
Первый член $A^2 = 4c^4 = (2c^2)^2$, следовательно, $A = 2c^2$.
Третий член $B^2 = 9d^6 = (3d^3)^2$, следовательно, $B = 3d^3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (2c^2) \cdot (3d^3) = 12c^2d^3$.
Выражение соответствует формуле, поэтому:
$4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6 = (2c^2)^2 + 2 \cdot (2c^2) \cdot (3d^3) + (3d^3)^2 = (2c^2 + 3d^3)^2$.
Ответ: $(2c^2 + 3d^3)^2$.

4) Рассмотрим многочлен $25a^6 + 30a^3b + 9b^2$. Это также полный квадрат суммы. Используем ту же формулу: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Определим A и B:
Первый член $A^2 = 25a^6 = (5a^3)^2$, следовательно, $A = 5a^3$.
Третий член $B^2 = 9b^2 = (3b)^2$, следовательно, $B = 3b$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (5a^3) \cdot (3b) = 30a^3b$.
Выражение полностью соответствует формуле, поэтому:
$25a^6 + 30a^3b + 9b^2 = (5a^3)^2 + 2 \cdot (5a^3) \cdot (3b) + (3b)^2 = (5a^3 + 3b)^2$.
Ответ: $(5a^3 + 3b)^2$.