Номер 551, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

551. Решить уравнение:

1) $16x^2 - (4x-5)^2 = 15;$

2) $64x^2 - (3-8x)^2 = 87;$

3) $-5x(x-3) + 5(x-1)^2 = -20;$

4) $(2x-3)^2 - (2x+3)^2 = 12.$

1) $16x^2-(4x-5)^2=15$
Левую часть уравнения можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
В данном случае $a = \sqrt{16x^2} = 4x$, а $b = 4x-5$.
$(4x-(4x-5))(4x+(4x-5))=15$
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(4x-4x+5)(4x+4x-5)=15$
Упростим выражения в скобках:
$5(8x-5)=15$
Разделим обе части уравнения на 5:
$8x-5=3$
Перенесем -5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$8x=3+5$
$8x=8$
$x=1$
Ответ: 1.

2) $64x^2-(3-8x)^2=87$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Здесь $a = \sqrt{64x^2} = 8x$, а $b = 3-8x$.
$(8x-(3-8x))(8x+(3-8x))=87$
Раскроем внутренние скобки:
$(8x-3+8x)(8x+3-8x)=87$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(16x-3) \cdot 3=87$
Разделим обе части уравнения на 3:
$16x-3=29$
Перенесем -3 в правую часть:
$16x=29+3$
$16x=32$
$x=2$
Ответ: 2.

3) $-5x(x-3)+5(x-1)^2=-20$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для $(x-1)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$-5x \cdot x - 5x \cdot (-3) + 5(x^2-2x+1)=-20$
$-5x^2+15x+5x^2-10x+5=-20$
Приведем подобные слагаемые:
$(-5x^2+5x^2) + (15x-10x) + 5 = -20$
$5x+5=-20$
Перенесем 5 в правую часть с противоположным знаком:
$5x=-20-5$
$5x=-25$
$x=\frac{-25}{5}$
$x=-5$
Ответ: -5.

4) $(2x-3)^2-(2x+3)^2=12$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=2x-3$ и $b=2x+3$.
$((2x-3)-(2x+3))((2x-3)+(2x+3))=12$
Раскроем внутренние скобки:
$(2x-3-2x-3)(2x-3+2x+3)=12$
Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:
$(-6)(4x)=12$
$-24x=12$
Найдем $x$:
$x=\frac{12}{-24}$
$x=-\frac{1}{2}$
$x=-0.5$
Ответ: -0.5.