Номер 558, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Квадрат суммы. Квадрат разности. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 558, страница 174.

Условие.

558. Квадрат двузначного числа содержит нечётное число десятков. Найти цифру единиц этого двузначного числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число равно $N$. Любое двузначное число можно представить в виде $N = 10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — это цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Возведём это число в квадрат:

$N^2 = (10a + b)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot b + b^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$.

В условии задачи говорится о "числе десятков". Число десятков в любом целом числе $K$ — это результат целочисленного деления этого числа на 10, что математически записывается как $\lfloor \frac{K}{10} \rfloor$. По условию, число десятков в $N^2$ должно быть нечётным.

Найдём число десятков в $N^2$:

Число десятков = $\lfloor \frac{N^2}{10} \rfloor = \lfloor \frac{100a^2 + 20ab + b^2}{10} \rfloor$.

Упростим это выражение, почленно разделив числитель на знаменатель внутри знака целой части:

$\lfloor 10a^2 + 2ab + \frac{b^2}{10} \rfloor$.

Так как $10a^2$ и $2ab$ — целые числа, их можно вынести из-под знака целой части:

Число десятков = $10a^2 + 2ab + \lfloor \frac{b^2}{10} \rfloor$.

Теперь проанализируем чётность этого выражения. Оно должно быть нечётным.

• Слагаемое $10a^2$ всегда чётное, так как содержит множитель 10.
• Слагаемое $2ab$ всегда чётное, так как содержит множитель 2.

Сумма двух чётных чисел ($10a^2 + 2ab$) также является чётным числом. Чтобы вся сумма была нечётной, необходимо, чтобы оставшееся слагаемое, $\lfloor \frac{b^2}{10} \rfloor$, было нечётным.

Итак, задача сводится к нахождению таких цифр единиц $b$, для которых число десятков в их квадрате ($b^2$) является нечётным числом. Проверим все возможные значения для $b$ от 0 до 9:
При $b=0$, $b^2=0$, число десятков $\lfloor \frac{0}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=1$, $b^2=1$, число десятков $\lfloor \frac{1}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=2$, $b^2=4$, число десятков $\lfloor \frac{4}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=3$, $b^2=9$, число десятков $\lfloor \frac{9}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=4$, $b^2=16$, число десятков $\lfloor \frac{16}{10} \rfloor = 1$ (нечётное).
При $b=5$, $b^2=25$, число десятков $\lfloor \frac{25}{10} \rfloor = 2$ (чётное).
При $b=6$, $b^2=36$, число десятков $\lfloor \frac{36}{10} \rfloor = 3$ (нечётное).
При $b=7$, $b^2=49$, число десятков $\lfloor \frac{49}{10} \rfloor = 4$ (чётное).
При $b=8$, $b^2=64$, число десятков $\lfloor \frac{64}{10} \rfloor = 6$ (чётное).
При $b=9$, $b^2=81$, число десятков $\lfloor \frac{81}{10} \rfloor = 8$ (чётное).

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только два значения для цифры единиц: 4 и 6.

Ответ: Цифра единиц этого двузначного числа может быть 4 или 6.