Номер 1, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Разложить на множители:

1) $27a^3b^2c^5 - 36a^2b^4c^3;$

2) $16x^7y^5z^3 - 72y^6z^2;$

3) $6ab + 3a - 10b - 5;$

4) $-18x^2 + 12x - 3xy + 2y;$

5) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

6) $4x^2 + 20x + 25;$

7) $100a^2 - 81b^2;$

8) $18x^3y - 8xy^3.$

1) Для разложения выражения $27a^3b^2c^5 - 36a^2b^4c^3$ на множители сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и для каждой переменной в наименьшей степени.
НОД для коэффициентов 27 и 36 равен 9.
Для переменных общими множителями являются $a^2$, $b^2$ и $c^3$.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $9a^2b^2c^3$.
Выполним вынесение общего множителя:
$27a^3b^2c^5 - 36a^2b^4c^3 = 9a^2b^2c^3 \cdot (\frac{27a^3b^2c^5}{9a^2b^2c^3} - \frac{36a^2b^4c^3}{9a^2b^2c^3}) = 9a^2b^2c^3(3a^{3-2}c^{5-3} - 4b^{4-2}) = 9a^2b^2c^3(3ac^2 - 4b^2)$.
Ответ: $9a^2b^2c^3(3ac^2 - 4b^2)$.

2) В выражении $16x^7y^5z^3 - 72y^6z^2$ найдем наибольший общий делитель.
НОД для коэффициентов 16 и 72 равен 8.
Переменная $x$ присутствует только в первом члене. Для переменных $y$ и $z$ берем наименьшие степени, входящие в оба члена: $y^5$ и $z^2$.
Общий множитель: $8y^5z^2$.
Вынесем его за скобки:
$16x^7y^5z^3 - 72y^6z^2 = 8y^5z^2 \cdot (\frac{16x^7y^5z^3}{8y^5z^2} - \frac{72y^6z^2}{8y^5z^2}) = 8y^5z^2(2x^7z - 9y)$.
Ответ: $8y^5z^2(2x^7z - 9y)$.

3) Для разложения многочлена $6ab + 3a - 10b - 5$ используем метод группировки.
Сгруппируем попарно слагаемые: $(6ab + 3a) + (-10b - 5)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $3a$: $3a(2b + 1)$.
Из второй группы вынесем общий множитель $-5$: $-5(2b + 1)$.
Получим выражение: $3a(2b + 1) - 5(2b + 1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(2b + 1)$:
$(2b + 1)(3a - 5)$.
Ответ: $(3a - 5)(2b + 1)$.

4) Для разложения многочлена $-18x^2 + 12x - 3xy + 2y$ применим метод группировки.
Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(-18x^2 - 3xy) + (12x + 2y)$.
Вынесем общий множитель из первой группы $-3x$: $-3x(6x + y)$.
Вынесем общий множитель из второй группы $2$: $2(6x + y)$.
Получим: $-3x(6x + y) + 2(6x + y)$.
Вынесем общий множитель $(6x + y)$:
$(6x + y)(-3x + 2)$.
Ответ: $(6x + y)(2 - 3x)$.

5) Выражение $a^2 - 6ab + 9b^2$ представляет собой полный квадрат разности.
Используем формулу сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = a$ и $y = 3b$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности:
$a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.
Ответ: $(a - 3b)^2$.

6) Выражение $4x^2 + 20x + 25$ является полным квадратом суммы.
Используем формулу: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 2x$ (поскольку $(2x)^2 = 4x^2$) и $b = 5$ (поскольку $5^2 = 25$).
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$. Он совпадает.
Таким образом, выражение является квадратом суммы:
$4x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)^2$.
Ответ: $(2x + 5)^2$.

7) Выражение $100a^2 - 81b^2$ является разностью квадратов.
Используем формулу: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим каждый член в виде квадрата: $100a^2 = (10a)^2$ и $81b^2 = (9b)^2$.
Применим формулу:
$(10a)^2 - (9b)^2 = (10a - 9b)(10a + 9b)$.
Ответ: $(10a - 9b)(10a + 9b)$.

8) В выражении $18x^3y - 8xy^3$ сначала вынесем общий множитель за скобки.
НОД(18, 8) = 2. Общие переменные в наименьшей степени: $x$ и $y$.
Общий множитель: $2xy$.
$18x^3y - 8xy^3 = 2xy(9x^2 - 4y^2)$.
Выражение в скобках, $9x^2 - 4y^2$, является разностью квадратов.
Представим $9x^2 = (3x)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$.
Применим формулу разности квадратов:
$9x^2 - 4y^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$.
Окончательный результат:
$2xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.
Ответ: $2xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.