Номер 564, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (564–565).

564.

1) $\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}$;

2) $\frac{38^2 - 17^2}{47^2 - 19^2}$;

3) $\frac{49^2 - 2 \cdot 49 \cdot 29 + 29^2}{49^2 - 19^2}$;

4) $\frac{47^2 - 3^2}{27^2 + 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80$.

Знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и сократим дробь:

$\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2} = \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} = \frac{26}{130} \cdot \frac{80}{28} = \frac{1}{5} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$

2) Аналогично первому примеру, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $38^2 - 17^2 = (38 - 17)(38 + 17) = 21 \cdot 55$.

Знаменатель: $47^2 - 19^2 = (47 - 19)(47 + 19) = 28 \cdot 66$.

Подставляем значения и сокращаем полученную дробь:

$\frac{38^2 - 17^2}{47^2 - 19^2} = \frac{21 \cdot 55}{28 \cdot 66} = \frac{21}{28} \cdot \frac{55}{66} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

3) В этом примере мы используем две формулы сокращенного умножения. Для числителя — квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для знаменателя — разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Преобразуем числитель: $49^2 - 2 \cdot 49 \cdot 29 + 29^2 = (49 - 29)^2 = 20^2 = 400$.

Преобразуем знаменатель: $49^2 - 19^2 = (49 - 19)(49 + 19) = 30 \cdot 68 = 2040$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{400}{2040} = \frac{40}{204} = \frac{10}{51}$.

Ответ: $\frac{10}{51}$

4) Здесь также применяются две формулы. Для числителя — разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Для знаменателя — квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Преобразуем числитель: $47^2 - 3^2 = (47 - 3)(47 + 3) = 44 \cdot 50 = 2200$.

Преобразуем знаменатель: $27^2 + 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2 = (27 + 13)^2 = 40^2 = 1600$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{2200}{1600} = \frac{22}{16} = \frac{11}{8}$.

Ответ: $\frac{11}{8}$