Номер 561, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 561, страница 178.

Условие.

561. 1) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2;$

2) $(x^2 + 2x)^2 - 1;$

3) $4y^2 - (y - c)^2;$

4) $81 - (y^2 + 6y)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x^2+1)^2 - 4x^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = x^2+1$ и $b^2 = 4x^2$, следовательно, $b = 2x$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x^2+1)^2 - (2x)^2 = ((x^2+1) - 2x)((x^2+1) + 2x)$

Упростим выражения в скобках, расположив члены в стандартном порядке:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Каждое из полученных выражений в скобках является полным квадратом. Применим формулы квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Первый множитель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Второй множитель: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(x-1)^2(x+1)^2$

Ответ: $(x-1)^2(x+1)^2$

2) $(x^2+2x)^2 - 1$

Выражение $(x^2+2x)^2 - 1$ также является разностью квадратов.

Здесь $a = x^2+2x$ и $b^2 = 1$, откуда $b=1$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2+2x)^2 - 1^2 = ((x^2+2x) - 1)((x^2+2x) + 1)$

Получаем два множителя: $(x^2+2x-1)$ и $(x^2+2x+1)$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Множитель $(x^2+2x+1)$ является полным квадратом суммы: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.

Множитель $(x^2+2x-1)$ является квадратным трехчленом. Для проверки возможности его разложения на множители с целыми коэффициентами найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Так как дискриминант не является точным квадратом, данный трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Собираем итоговое выражение:

$(x^2+2x-1)(x+1)^2$

Ответ: $(x^2+2x-1)(x+1)^2$

3) $4y^2 - (y-c)^2$

Это выражение также представляет собой разность квадратов.

Представим $4y^2$ как $(2y)^2$. Тогда выражение примет вид $(2y)^2 - (y-c)^2$.

Здесь $a = 2y$ и $b = y-c$.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2y - (y-c))(2y + (y-c))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения:

$(2y - y + c)(2y + y - c)$

$(y+c)(3y-c)$

Ответ: $(y+c)(3y-c)$

4) $81 - (y^2+6y)^2$

Выражение $81 - (y^2+6y)^2$ является разностью квадратов.

Представим $81$ как $9^2$. Выражение примет вид $9^2 - (y^2+6y)^2$.

Здесь $a = 9$ и $b = y^2+6y$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(9 - (y^2+6y))(9 + (y^2+6y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(9 - y^2 - 6y)(9 + y^2 + 6y)$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Второй множитель $(y^2+6y+9)$ является полным квадратом суммы: $y^2+6y+9 = (y+3)^2$.

Первый множитель $(9 - y^2 - 6y)$ является квадратным трехчленом. Его дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 9 = 36 + 36 = 72$. Так как дискриминант не является точным квадратом, данный трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, итоговое разложение на множители:

$(9 - y^2 - 6y)(y+3)^2$

Ответ: $(9 - y^2 - 6y)(y+3)^2$