Номер 1, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать последовательность попыток разложения многочлена на множители.

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения нескольких многочленов (или одночлена и многочлена). Для успешного разложения рекомендуется придерживаться определенной последовательности действий, пробуя методы от самых простых к более сложным.

1. Вынесение общего множителя за скобки.
   Это первый и самый важный шаг. Необходимо проверить, есть ли у всех членов многочлена общий множитель (число, переменная или их произведение). Если он есть, его нужно вынести за скобки. Этот метод основан на распределительном законе умножения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
   Пример: В многочлене $12x^3y^2 - 18x^2y^3$ общим множителем является $6x^2y^2$. Вынесем его за скобки: $12x^3y^2 - 18x^2y^3 = 6x^2y^2(2x - 3y)$.
   Ответ: Первым шагом всегда следует проверять возможность вынесения общего множителя за скобки.

2. Использование формул сокращенного умножения.
   Если после вынесения общего множителя (или если его не было) многочлен в скобках представляет собой одну из известных формул, ее следует применить. Основные формулы:

   • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
   • Квадрат суммы/разности: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
   • Сумма/разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

   Пример: Разложить $9x^2 - 25$. Это разность квадратов, где $a=3x$ и $b=5$. $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
   Ответ: Вторым шагом нужно попытаться применить формулы сокращенного умножения.

3. Способ группировки.
   Этот метод применяется, как правило, к многочленам, содержащим четыре и более членов, и если предыдущие способы не сработали. Суть метода заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий для всех групп множитель (в виде многочлена), который также выносится за скобки.
   Пример: Разложить $xy - 6 + 3x - 2y$. Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$. Теперь вынесем общий множитель $(y+3)$: $(y + 3)(x - 2)$.
   Ответ: Третьим шагом, особенно для многочленов с 4 и более членами, используется способ группировки.

4. Разложение квадратного трехчлена.
   Если многочлен является квадратным трехчленом вида $ax^2 + bx + c$, его можно разложить на множители, найдя его корни $x_1$ и $x_2$ (например, через дискриминант). Формула разложения: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
   Пример: Разложить $2x^2 + 5x - 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Корни $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -3$. Тогда разложение имеет вид: $2(x - \frac{1}{2})(x - (-3)) = (2x - 1)(x + 3)$.
   Ответ: Для квадратных трехчленов применяется метод разложения с помощью нахождения корней.

5. Нахождение рациональных корней многочлена высших степеней.
   Для многочленов с целыми коэффициентами можно попытаться найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Если $x = \frac{p}{q}$ является корнем многочлена, то $p$ (целое число) — делитель свободного члена, а $q$ (натуральное число) — делитель старшего коэффициента. Найдя корень $c$, можно разделить многочлен на двучлен $(x - c)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"), получив многочлен меньшей степени, который, в свою очередь, можно пытаться разложить дальше.
   Пример: Разложить $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. Делители свободного члена (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Делители старшего коэффициента (1): $\pm 1$. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверкой убеждаемся, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Значит, многочлен делится на $(x - 1)$. После деления получаем $x^2 - x - 6$. Таким образом, $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)$. Квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$ раскладываем по корням (корни 3 и -2): $(x - 3)(x + 2)$. Итоговое разложение: $(x - 1)(x - 3)(x + 2)$.
   Ответ: Для многочленов высших степеней используют поиск рациональных корней и последующее деление многочлена.

Таким образом, общая последовательность попыток разложения многочлена на множители выглядит так: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, метод группировки, разложение квадратного трехчлена и, для более сложных случаев, поиск рациональных корней.