Номер 555, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

555. Вычислить:

1) $101^2 - 202 \cdot 81 + 81^2$;

2) $37^2 + 126 \cdot 37 + 63^2$;

3) $\frac{48^2 + 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2}{48^2 - 18^2}$;

4) $\frac{85^2 - 17^2}{85^2 + 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2}$.

1) Для вычисления выражения $101^2 - 202 \cdot 81 + 81^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении можно заметить, что $202 = 2 \cdot 101$.
Тогда выражение можно переписать в виде: $101^2 - 2 \cdot 101 \cdot 81 + 81^2$.
Здесь $a = 101$ и $b = 81$.
Применяя формулу, получаем: $(101 - 81)^2 = 20^2 = 400$.
Ответ: $400$.

2) Для вычисления выражения $37^2 + 126 \cdot 37 + 63^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В данном выражении можно заметить, что $126 = 2 \cdot 63$.
Тогда выражение можно переписать в виде: $37^2 + 2 \cdot 63 \cdot 37 + 63^2$.
Здесь $a = 37$ и $b = 63$.
Применяя формулу, получаем: $(37 + 63)^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: $10000$.

3) Для вычисления выражения $\frac{48^2 + 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2}{48^2 - 18^2}$ применим формулы сокращенного умножения для числителя и знаменателя.
Числитель $48^2 + 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2$ является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=48$ и $b=18$. Таким образом, числитель равен $(48+18)^2$.
Знаменатель $48^2 - 18^2$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=48$ и $b=18$. Таким образом, знаменатель равен $(48-18)(48+18)$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь: $\frac{(48+18)^2}{(48-18)(48+18)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(48+18)$: $\frac{48+18}{48-18}$.
Выполним вычисления: $\frac{66}{30}$.
Сократим полученную дробь на 6: $\frac{11}{5} = 2.2$.
Ответ: $2.2$.

4) Для вычисления выражения $\frac{85^2 - 17^2}{85^2 + 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2}$ применим формулы сокращенного умножения для числителя и знаменателя.
Числитель $85^2 - 17^2$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=85$ и $b=17$. Таким образом, числитель равен $(85-17)(85+17)$.
Знаменатель $85^2 + 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2$ является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=85$ и $b=17$. Таким образом, знаменатель равен $(85+17)^2$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь: $\frac{(85-17)(85+17)}{(85+17)^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(85+17)$: $\frac{85-17}{85+17}$.
Выполним вычисления: $\frac{68}{102}$.
Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель 34: $\frac{68 \div 34}{102 \div 34} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.