Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

552. Упростить выражение:

1) $(x - y)^2 + (x + y)^2;$

2) $(x + y)^2 - (x - y)^2;$

3) $(2a + b)^2 - (2a - b)^2;$

4) $(2a + b)^2 + (2a - b)^2.$

1) Для упрощения выражения $(x-y)^2+(x+y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем скобки, применяя эти формулы:

$(x-y)^2+(x+y)^2 = (x^2-2xy+y^2) + (x^2+2xy+y^2)$

Теперь уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2 = (x^2+x^2) + (-2xy+2xy) + (y^2+y^2) = 2x^2+0+2y^2 = 2x^2+2y^2$

Ответ: $2x^2+2y^2$

2) Для упрощения выражения $(x+y)^2-(x-y)^2$ используем те же формулы сокращенного умножения.

Раскроем скобки:

$(x+y)^2-(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2)$

При раскрытии вторых скобок, перед которыми стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 = (x^2-x^2) + (2xy+2xy) + (y^2-y^2) = 0+4xy+0 = 4xy$

Альтернативный способ — использовать формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=x+y$ и $B=x-y$:

$((x+y)-(x-y))((x+y)+(x-y)) = (x+y-x+y)(x+y+x-y) = (2y)(2x) = 4xy$

Ответ: $4xy$

3) Выражение $(2a+b)^2 - (2a-b)^2$ имеет ту же структуру, что и выражение в пункте 2. Это разность квадратов. Можно применить результат из пункта 2: $(x+y)^2-(x-y)^2 = 4xy$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=b$. Подставим эти значения в результат:

$4 \cdot (2a) \cdot b = 8ab$

Проверим, раскрыв скобки:

$(2a+b)^2 - (2a-b)^2 = ((2a)^2+2 \cdot 2a \cdot b+b^2) - ((2a)^2-2 \cdot 2a \cdot b+b^2) = (4a^2+4ab+b^2) - (4a^2-4ab+b^2)$

$4a^2+4ab+b^2 - 4a^2+4ab-b^2 = (4a^2-4a^2) + (4ab+4ab) + (b^2-b^2) = 8ab$

Ответ: $8ab$

4) Выражение $(2a+b)^2 + (2a-b)^2$ по своей структуре аналогично выражению из пункта 1. Это сумма квадратов. Применим результат из пункта 1: $(x+y)^2+(x-y)^2 = 2x^2+2y^2$.

Здесь $x=2a$ и $y=b$. Подставим эти значения:

$2(2a)^2+2b^2 = 2(4a^2)+2b^2 = 8a^2+2b^2$

Проверим, раскрыв скобки:

$(2a+b)^2 + (2a-b)^2 = ((2a)^2+2 \cdot 2a \cdot b+b^2) + ((2a)^2-2 \cdot 2a \cdot b+b^2) = (4a^2+4ab+b^2) + (4a^2-4ab+b^2)$

$4a^2+4ab+b^2 + 4a^2-4ab+b^2 = (4a^2+4a^2) + (4ab-4ab) + (b^2+b^2) = 8a^2+2b^2$

Ответ: $8a^2+2b^2$

553. Доказать, что:

1) $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $;

2) $ (-a-b)^2 = (a+b)^2 $;

3) $ (-a-b)(a+b) = -(a+b)^2 $;

4) $ (a-b)^3 = -(b-a)^3 $;

5) $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $.

1) Для доказательства тождества $(a-b)^2 = (b-a)^2$ преобразуем правую часть. В выражении $(b-a)$ вынесем за скобку множитель $-1$: $b-a = -(a-b)$. Тогда правая часть равенства примет вид:
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (-1 \cdot (a-b))^2$
Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем:
$(-1)^2 \cdot (a-b)^2 = 1 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$
Таким образом, правая часть тождественно равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(-a-b)^2 = (a+b)^2$ преобразуем левую часть. В выражении $(-a-b)$ вынесем за скобку множитель $-1$: $-a-b = -(a+b)$. Тогда левая часть равенства примет вид:
$(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (-1 \cdot (a+b))^2$
Используя свойство степени, получаем:
$(-1)^2 \cdot (a+b)^2 = 1 \cdot (a+b)^2 = (a+b)^2$
Таким образом, левая часть тождественно равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(-a-b)(a+b) = -(a+b)^2$ преобразуем левую часть. В первом множителе $(-a-b)$ вынесем за скобку $-1$:
$(-a-b) = -1 \cdot (a+b)$
Подставим это выражение в левую часть равенства:
$(-1 \cdot (a+b))(a+b) = -(a+b)(a+b) = -(a+b)^2$
Таким образом, левая часть тождественно равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(a-b)^3 = -(b-a)^3$ преобразуем правую часть. В выражении $(b-a)$ вынесем за скобку $-1$: $b-a = -(a-b)$. Тогда правая часть равенства примет вид:
$-(b-a)^3 = -(-(a-b))^3 = -(-1 \cdot (a-b))^3$
Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем:
$-((-1)^3 \cdot (a-b)^3)$
Так как $(-1)^3 = -1$, выражение становится равным:
$-(-1 \cdot (a-b)^3) = (a-b)^3$
Таким образом, правая часть тождественно равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

5) Для доказательства тождества $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ раскроем скобки в левой части. Сгруппируем слагаемые и применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Пусть $x=a+b$ и $y=c$:
$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$2(a+b)c = 2ac+2bc$
Подставим полученные выражения обратно:
$(a^2+2ab+b^2) + (2ac+2bc) + c^2$
Перегруппируем слагаемые для соответствия правой части исходного тождества:
$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
Таким образом, левая часть тождественно равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

554. Найти значение выражения:

1) $5m^2 - 10mn + 5n^2$ при $m = 142, n = 42;$

2) $6m^2 + 12mn + 6n^2$ при $m = 56, n = 44;$

3) $-36a^3 + 4a^2b - \frac{1}{9}ab^2$ при $a = 4, b = 48;$

4) $-64a^3 - 8a^2b - \frac{1}{4}ab^2$ при $a = -6, b = 84.$

1) $5m^2 - 10mn + 5n^2$ при $m = 142$, $n = 42$

Для упрощения вычислений сначала преобразуем выражение. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5m^2 - 10mn + 5n^2 = 5(m^2 - 2mn + n^2)$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$5(m^2 - 2mn + n^2) = 5(m - n)^2$

Теперь подставим заданные значения $m=142$ и $n=42$:

$5(142 - 42)^2 = 5(100)^2 = 5 \cdot 10000 = 50000$

Ответ: 50000

2) $6m^2 + 12mn + 6n^2$ при $m = 56$, $n = 44$

Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель 6 за скобки:

$6m^2 + 12mn + 6n^2 = 6(m^2 + 2mn + n^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$6(m^2 + 2mn + n^2) = 6(m + n)^2$

Теперь подставим заданные значения $m=56$ и $n=44$:

$6(56 + 44)^2 = 6(100)^2 = 6 \cdot 10000 = 60000$

Ответ: 60000

3) $-36a^3 + 4a^2b - \frac{1}{9}ab^2$ при $a = 4$, $b = 48$

Вынесем общий множитель $-a$ за скобки:

$-36a^3 + 4a^2b - \frac{1}{9}ab^2 = -a(36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности. Проверим это: $36a^2 = (6a)^2$, $\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot 6a \cdot \frac{1}{3}b = 4ab$. Формула $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ здесь не подходит, так как знак у среднего члена другой. Давайте перепроверим исходное выражение. Возможно, в нем есть опечатка. Если бы средний член был $-4a^2b$, то вынести можно было бы $-a^2$ и получить $-a^2(36a - 4b ...)$, что не упрощает. Если бы было $-4a^2b$, то... нет, давайте работать с тем, что есть. А, я ошибся при проверке. Удвоенное произведение $2 \cdot 6a \cdot \frac{1}{3}b$ равно $4ab$. Значит выражение в скобках $36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2$ не является квадратом разности. Вернемся к выражению в скобках: $36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2$. Первый член $(6a)^2$. Последний член $(\frac{1}{3}b)^2$. Средний член должен быть $-2 \cdot (6a) \cdot (\frac{1}{3}b) = -4ab$. О, все сходится. Я ошибся в своих сомнениях. Итак, выражение в скобках действительно является полным квадратом разности $(6a - \frac{1}{3}b)^2$.

$-a(36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2) = -a(6a - \frac{1}{3}b)^2$

Подставим значения $a=4$ и $b=48$:

$-4(6 \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot 48)^2 = -4(24 - 16)^2 = -4(8)^2 = -4 \cdot 64 = -256$

Ответ: -256

4) $-64a^3 - 8a^2b - \frac{1}{4}ab^2$ при $a = -6$, $b = 84$

Вынесем общий множитель $-a$ за скобки:

$-64a^3 - 8a^2b - \frac{1}{4}ab^2 = -a(64a^2 + 8ab + \frac{1}{4}b^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы. Проверим: $64a^2 = (8a)^2$, $\frac{1}{4}b^2 = (\frac{1}{2}b)^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot 8a \cdot \frac{1}{2}b = 8ab$. Это соответствует среднему члену.

$-a(64a^2 + 8ab + \frac{1}{4}b^2) = -a(8a + \frac{1}{2}b)^2$

Подставим значения $a=-6$ и $b=84$:

$-(-6)(8 \cdot (-6) + \frac{1}{2} \cdot 84)^2 = 6(-48 + 42)^2 = 6(-6)^2 = 6 \cdot 36 = 216$

Ответ: 216

555. Вычислить:

1) $101^2 - 202 \cdot 81 + 81^2$;

2) $37^2 + 126 \cdot 37 + 63^2$;

3) $\frac{48^2 + 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2}{48^2 - 18^2}$;

4) $\frac{85^2 - 17^2}{85^2 + 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2}$.

1) Для вычисления выражения $101^2 - 202 \cdot 81 + 81^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении можно заметить, что $202 = 2 \cdot 101$.
Тогда выражение можно переписать в виде: $101^2 - 2 \cdot 101 \cdot 81 + 81^2$.
Здесь $a = 101$ и $b = 81$.
Применяя формулу, получаем: $(101 - 81)^2 = 20^2 = 400$.
Ответ: $400$.

2) Для вычисления выражения $37^2 + 126 \cdot 37 + 63^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В данном выражении можно заметить, что $126 = 2 \cdot 63$.
Тогда выражение можно переписать в виде: $37^2 + 2 \cdot 63 \cdot 37 + 63^2$.
Здесь $a = 37$ и $b = 63$.
Применяя формулу, получаем: $(37 + 63)^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: $10000$.

3) Для вычисления выражения $\frac{48^2 + 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2}{48^2 - 18^2}$ применим формулы сокращенного умножения для числителя и знаменателя.
Числитель $48^2 + 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2$ является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=48$ и $b=18$. Таким образом, числитель равен $(48+18)^2$.
Знаменатель $48^2 - 18^2$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=48$ и $b=18$. Таким образом, знаменатель равен $(48-18)(48+18)$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь: $\frac{(48+18)^2}{(48-18)(48+18)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(48+18)$: $\frac{48+18}{48-18}$.
Выполним вычисления: $\frac{66}{30}$.
Сократим полученную дробь на 6: $\frac{11}{5} = 2.2$.
Ответ: $2.2$.

4) Для вычисления выражения $\frac{85^2 - 17^2}{85^2 + 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2}$ применим формулы сокращенного умножения для числителя и знаменателя.
Числитель $85^2 - 17^2$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=85$ и $b=17$. Таким образом, числитель равен $(85-17)(85+17)$.
Знаменатель $85^2 + 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2$ является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=85$ и $b=17$. Таким образом, знаменатель равен $(85+17)^2$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь: $\frac{(85-17)(85+17)}{(85+17)^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(85+17)$: $\frac{85-17}{85+17}$.
Выполним вычисления: $\frac{68}{102}$.
Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель 34: $\frac{68 \div 34}{102 \div 34} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

556. Используя формулы куба суммы или куба разности двух чисел, выполнить действие:

1) $(x + 2)^3$;

2) $(3 - y)^3$;

3) $(2a - b)^3$;

4) $(3b + 2a)^3$.

Для решения этих примеров используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности двух выражений.

Формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Формула куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

1) $(x + 2)^3$

Применяем формулу куба суммы, где $a = x$ и $b = 2$.

$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3$

Упрощаем каждый член выражения:

$x^3 + 6x^2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8$

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Ответ: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

2) $(3 - y)^3$

Применяем формулу куба разности, где $a = 3$ и $b = y$.

$(3 - y)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot y + 3 \cdot 3 \cdot y^2 - y^3$

Упрощаем каждый член выражения:

$27 - 3 \cdot 9 \cdot y + 9y^2 - y^3$

$27 - 27y + 9y^2 - y^3$

Ответ: $27 - 27y + 9y^2 - y^3$.

3) $(2a - b)^3$

Применяем формулу куба разности, где первое слагаемое $2a$, а второе $b$.

$(2a - b)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot b + 3 \cdot (2a) \cdot b^2 - b^3$

Упрощаем каждый член выражения:

$8a^3 - 3 \cdot 4a^2 \cdot b + 6ab^2 - b^3$

$8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3$

Ответ: $8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3$.

4) $(3b + 2a)^3$

Применяем формулу куба суммы, где первое слагаемое $3b$, а второе $2a$.

$(3b + 2a)^3 = (3b)^3 + 3 \cdot (3b)^2 \cdot (2a) + 3 \cdot (3b) \cdot (2a)^2 + (2a)^3$

Упрощаем каждый член выражения:

$27b^3 + 3 \cdot 9b^2 \cdot (2a) + 9b \cdot 4a^2 + 8a^3$

$27b^3 + 54ab^2 + 36a^2b + 8a^3$

Для стандартного вида многочлена, упорядочим его члены по убыванию степеней переменной $a$:

$8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

Ответ: $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$.

557. Разложить многочлен на множители:

1) $125 + 75a + 15a^2 + a^3;$

2) $m^3 - 12m^2 + 48m - 64;$

3) $x^6 - 3x^4y + 3x^2y^2 - y^3;$

4) $c^6 + 3c^4d^2 + 3c^2d^4 + d^6.$

1) $125 + 75a + 15a^2 + a^3$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Сначала переставим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $a$:

$a^3 + 15a^2 + 75a + 125$

Теперь сравним полученное выражение с формулой. Пусть $x = a$ и $y^3 = 125$, тогда $y=5$.

Проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена этой подстановке:

Первый член: $x^3 = a^3$.

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 5 = 15a^2$.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 5^2 = 3 \cdot a \cdot 25 = 75a$.

Четвертый член: $y^3 = 5^3 = 125$.

Все члены многочлена совпадают с разложением $(a+5)^3$. Таким образом, мы можем записать:

$125 + 75a + 15a^2 + a^3 = (5+a)^3$.

Ответ: $(5+a)^3$.

2) $m^3 - 12m^2 + 48m - 64$

Этот многочлен можно разложить с помощью формулы куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Сравним наше выражение с формулой. Пусть $x=m$ и $y^3=64$, тогда $y=4$.

Проверим члены многочлена:

Первый член: $x^3 = m^3$.

Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot m^2 \cdot 4 = -12m^2$.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot m \cdot 4^2 = 3 \cdot m \cdot 16 = 48m$.

Четвертый член: $-y^3 = -4^3 = -64$.

Все члены совпадают, следовательно, многочлен является разложением куба разности $(m-4)^3$.

$m^3 - 12m^2 + 48m - 64 = (m-4)^3$.

Ответ: $(m-4)^3$.

3) $x^6 - 3x^4y + 3x^2y^2 - y^3$

Данный многочлен также можно разложить по формуле куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Определим, чему равны $A$ и $B$. Из первого члена $A^3 = x^6$, получаем $A = x^2$. Из последнего члена $-B^3 = -y^3$, получаем $B=y$.

Проверим средние члены, подставив $A=x^2$ и $B=y$:

Второй член: $-3A^2B = -3(x^2)^2y = -3x^4y$. Совпадает.

Третий член: $3AB^2 = 3(x^2)(y^2) = 3x^2y^2$. Совпадает.

Таким образом, многочлен представляет собой разложение куба разности $(x^2-y)^3$.

$x^6 - 3x^4y + 3x^2y^2 - y^3 = (x^2-y)^3$.

Ответ: $(x^2-y)^3$.

4) $c^6 + 3c^4d^2 + 3c^2d^4 + d^6$

Этот многочлен можно разложить по формуле куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

Определим $A$ и $B$. Из первого члена $A^3 = c^6$, получаем $A = c^2$. Из последнего члена $B^3 = d^6$, получаем $B = d^2$.

Проверим средние члены, подставив $A=c^2$ и $B=d^2$:

Второй член: $3A^2B = 3(c^2)^2(d^2) = 3c^4d^2$. Совпадает.

Третий член: $3AB^2 = 3(c^2)(d^2)^2 = 3c^2d^4$. Совпадает.

Следовательно, многочлен является разложением куба суммы $(c^2+d^2)^3$.

$c^6 + 3c^4d^2 + 3c^2d^4 + d^6 = (c^2+d^2)^3$.

Ответ: $(c^2+d^2)^3$.

558. Квадрат двузначного числа содержит нечётное число десятков. Найти цифру единиц этого двузначного числа.

Пусть искомое двузначное число равно $N$. Любое двузначное число можно представить в виде $N = 10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — это цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Возведём это число в квадрат:

$N^2 = (10a + b)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot b + b^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$.

В условии задачи говорится о "числе десятков". Число десятков в любом целом числе $K$ — это результат целочисленного деления этого числа на 10, что математически записывается как $\lfloor \frac{K}{10} \rfloor$. По условию, число десятков в $N^2$ должно быть нечётным.

Найдём число десятков в $N^2$:

Число десятков = $\lfloor \frac{N^2}{10} \rfloor = \lfloor \frac{100a^2 + 20ab + b^2}{10} \rfloor$.

Упростим это выражение, почленно разделив числитель на знаменатель внутри знака целой части:

$\lfloor 10a^2 + 2ab + \frac{b^2}{10} \rfloor$.

Так как $10a^2$ и $2ab$ — целые числа, их можно вынести из-под знака целой части:

Число десятков = $10a^2 + 2ab + \lfloor \frac{b^2}{10} \rfloor$.

Теперь проанализируем чётность этого выражения. Оно должно быть нечётным.

• Слагаемое $10a^2$ всегда чётное, так как содержит множитель 10.
• Слагаемое $2ab$ всегда чётное, так как содержит множитель 2.

Сумма двух чётных чисел ($10a^2 + 2ab$) также является чётным числом. Чтобы вся сумма была нечётной, необходимо, чтобы оставшееся слагаемое, $\lfloor \frac{b^2}{10} \rfloor$, было нечётным.

Итак, задача сводится к нахождению таких цифр единиц $b$, для которых число десятков в их квадрате ($b^2$) является нечётным числом. Проверим все возможные значения для $b$ от 0 до 9:
При $b=0$, $b^2=0$, число десятков $\lfloor \frac{0}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=1$, $b^2=1$, число десятков $\lfloor \frac{1}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=2$, $b^2=4$, число десятков $\lfloor \frac{4}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=3$, $b^2=9$, число десятков $\lfloor \frac{9}{10} \rfloor = 0$ (чётное).
При $b=4$, $b^2=16$, число десятков $\lfloor \frac{16}{10} \rfloor = 1$ (нечётное).
При $b=5$, $b^2=25$, число десятков $\lfloor \frac{25}{10} \rfloor = 2$ (чётное).
При $b=6$, $b^2=36$, число десятков $\lfloor \frac{36}{10} \rfloor = 3$ (нечётное).
При $b=7$, $b^2=49$, число десятков $\lfloor \frac{49}{10} \rfloor = 4$ (чётное).
При $b=8$, $b^2=64$, число десятков $\lfloor \frac{64}{10} \rfloor = 6$ (чётное).
При $b=9$, $b^2=81$, число десятков $\lfloor \frac{81}{10} \rfloor = 8$ (чётное).

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только два значения для цифры единиц: 4 и 6.

Ответ: Цифра единиц этого двузначного числа может быть 4 или 6.