Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

524. 1) $(c^2 + d^2)(c^2 - d^2)$;

2) $(a^2 + b^3)(a^2 - b^3)$;

3) $(x^4 - y^3)(y^3 + x^4)$;

4) $(m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$.

1) Для упрощения выражения $(c^2 + d^2)(c^2 - d^2)$ применяется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае в роли $a$ выступает $c^2$, а в роли $b$ — $d^2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:
$(c^2 + d^2)(c^2 - d^2) = (c^2)^2 - (d^2)^2$.
Далее, используя свойство степени «при возведении степени в степень показатели перемножаются» $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, находим:
$(c^2)^2 = c^{2 \cdot 2} = c^4$
$(d^2)^2 = d^{2 \cdot 2} = d^4$
Таким образом, итоговое выражение равно $c^4 - d^4$.
Ответ: $c^4 - d^4$.

2) Выражение $(a^2 + b^3)(a^2 - b^3)$ также представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Снова воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = a^2$ и $b = b^3$. Применяя формулу, получаем:
$(a^2 + b^3)(a^2 - b^3) = (a^2)^2 - (b^3)^2$.
По свойству возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$:
$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$
$(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$
Следовательно, результат равен $a^4 - b^6$.
Ответ: $a^4 - b^6$.

3) В выражении $(x^4 - y^3)(y^3 + x^4)$ для удобства применения формулы можно поменять местами слагаемые во второй скобке, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативное свойство сложения): $(y^3 + x^4) = (x^4 + y^3)$. Теперь выражение имеет вид $(x^4 - y^3)(x^4 + y^3)$, что полностью соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В этом случае $a = x^4$ и $b = y^3$. Применим формулу:
$(x^4 - y^3)(x^4 + y^3) = (x^4)^2 - (y^3)^2$.
Используя свойство степени $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, находим:
$(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$
$(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$
Таким образом, итоговый результат равен $x^8 - y^6$.
Ответ: $x^8 - y^6$.

4) Для упрощения выражения $(m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$ снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном примере $a = m^3$ и $b = n^3$. Подставив эти значения в формулу, получаем:
$(m^3 - n^3)(m^3 + n^3) = (m^3)^2 - (n^3)^2$.
Применяя правило возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, получаем:
$(m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$
$(n^3)^2 = n^{3 \cdot 2} = n^6$
Итоговый результат: $m^6 - n^6$.
Ответ: $m^6 - n^6$.

525. 1) $(3a^2 + 4b^3)(3a^2 - 4b^3);$

2) $(2m^4 - 5n^2)(5n^2 + 2m^4);$

3) $(0.2t^3 + 0.5p^4)(0.5p^4 - 0.2t^3);$

4) $(1.2a^2 - 0.3b^2)(1.2a^2 + 0.3b^2).$

Для решения всех примеров используется формула сокращённого умножения — разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1) $(3a^2 + 4b^3)(3a^2 - 4b^3)$

Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов, где $x = 3a^2$ и $y = 4b^3$.

$(3a^2 + 4b^3)(3a^2 - 4b^3) = (3a^2)^2 - (4b^3)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 - 4^2 \cdot (b^3)^2 = 9a^{2 \cdot 2} - 16b^{3 \cdot 2} = 9a^4 - 16b^6$.

Ответ: $9a^4 - 16b^6$.

2) $(2m^4 - 5n^2)(5n^2 + 2m^4)$

Поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы: $(2m^4 - 5n^2)(2m^4 + 5n^2)$.

Теперь применим формулу разности квадратов, где $x = 2m^4$ и $y = 5n^2$.

$(2m^4)^2 - (5n^2)^2 = 2^2 \cdot (m^4)^2 - 5^2 \cdot (n^2)^2 = 4m^{4 \cdot 2} - 25n^{2 \cdot 2} = 4m^8 - 25n^4$.

Ответ: $4m^8 - 25n^4$.

3) $(0,2t^3 + 0,5p^4)(0,5p^4 - 0,2t^3)$

Поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы выражение соответствовало формуле: $(0,5p^4 + 0,2t^3)(0,5p^4 - 0,2t^3)$.

Применим формулу разности квадратов, где $x = 0,5p^4$ и $y = 0,2t^3$.

$(0,5p^4)^2 - (0,2t^3)^2 = (0,5)^2 \cdot (p^4)^2 - (0,2)^2 \cdot (t^3)^2 = 0,25p^{4 \cdot 2} - 0,04t^{3 \cdot 2} = 0,25p^8 - 0,04t^6$.

Ответ: $0,25p^8 - 0,04t^6$.

4) $(1,2a^2 - 0,3b^2)(1,2a^2 + 0,3b^2)$

Это выражение уже представлено в виде, удобном для применения формулы разности квадратов. Здесь $x = 1,2a^2$ и $y = 0,3b^2$.

$(1,2a^2)^2 - (0,3b^2)^2 = (1,2)^2 \cdot (a^2)^2 - (0,3)^2 \cdot (b^2)^2 = 1,44a^{2 \cdot 2} - 0,09b^{2 \cdot 2} = 1,44a^4 - 0,09b^4$.

Ответ: $1,44a^4 - 0,09b^4$.

Вычислить (526–527).

526. 1) $48 \cdot 52$; 2) $68 \cdot 72$; 3) $43 \cdot 37$; 4) $47 \cdot 53$.

1) Для вычисления произведения $48 \cdot 52$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа. В данном случае, $48$ можно представить как $50 - 2$, а $52$ как $50 + 2$.
Подставим эти значения в формулу, где $a = 50$, а $b = 2$:
$48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496$.
Ответ: 2496

2) Для вычисления произведения $68 \cdot 72$ используем ту же формулу разности квадратов.
Представим множители в виде $68 = 70 - 2$ и $72 = 70 + 2$.
В этом случае $a = 70$, $b = 2$:
$68 \cdot 72 = (70 - 2)(70 + 2) = 70^2 - 2^2 = 4900 - 4 = 4896$.
Ответ: 4896

3) Для вычисления произведения $43 \cdot 37$ снова применим формулу разности квадратов.
Представим множители как $43 = 40 + 3$ и $37 = 40 - 3$.
Здесь $a = 40$, $b = 3$:
$43 \cdot 37 = (40 + 3)(40 - 3) = 40^2 - 3^2 = 1600 - 9 = 1591$.
Ответ: 1591

4) Для вычисления произведения $47 \cdot 53$ также используем формулу разности квадратов.
Представим множители как $47 = 50 - 3$ и $53 = 50 + 3$.
В этом примере $a = 50$, $b = 3$:
$47 \cdot 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.
Ответ: 2491

527. 1) $47 \cdot 33;$

2) $44 \cdot 36;$

3) $84 \cdot 76;$

4) $201 \cdot 199.$

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Представим множители $47$ и $33$ в виде суммы и разности двух чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $(47+33)/2 = 40$. Тогда $47 = 40+7$, а $33=40-7$.
Подставим эти значения в формулу:
$47 \cdot 33 = (40+7)(40-7) = 40^2 - 7^2 = 1600 - 49 = 1551$.
Ответ: 1551.

2) Данное произведение также удобно вычислить с помощью формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Представим множители $44$ и $36$ в виде суммы и разности. Среднее арифметическое: $(44+36)/2 = 40$. Тогда $44 = 40+4$, а $36=40-4$.
Выполним вычисление:
$44 \cdot 36 = (40+4)(40-4) = 40^2 - 4^2 = 1600 - 16 = 1584$.
Ответ: 1584.

3) Снова применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Представим множители $84$ и $76$ в виде суммы и разности. Среднее арифметическое: $(84+76)/2 = 80$. Тогда $84 = 80+4$, а $76=80-4$.
Выполним вычисление:
$84 \cdot 76 = (80+4)(80-4) = 80^2 - 4^2 = 6400 - 16 = 6384$.
Ответ: 6384.

4) Для вычисления произведения $201 \cdot 199$ воспользуемся той же формулой разности квадратов.
Представим множители $201$ и $199$ в виде суммы и разности. Среднее арифметическое: $(201+199)/2 = 200$. Тогда $201 = 200+1$, а $199=200-1$.
Выполним вычисление:
$201 \cdot 199 = (200+1)(200-1) = 200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999$.
Ответ: 39999.

Разложить на множители (528—529).

528. 1) $(a+b)^2-c^2$;

2) $(m-n)^2-k^2$;

3) $(a+2b)^2-9a^2$;

4) $(3x-y)^2-4y^2$.

1) Данное выражение $(a+b)^2 - c^2$ является разностью квадратов двух выражений: $(a+b)$ и $c$. Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае $x = a+b$, а $y = c$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$(a+b)^2 - c^2 = ((a+b) - c)((a+b) + c) = (a+b-c)(a+b+c)$.
Ответ: $(a+b-c)(a+b+c)$

2) Выражение $(m-n)^2 - k^2$ также представляет собой разность квадратов. Здесь в роли $x$ выступает выражение $m-n$, а в роли $y$ — переменная $k$. Применяя ту же формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:
$(m-n)^2 - k^2 = ((m-n) - k)((m-n) + k) = (m-n-k)(m-n+k)$.
Ответ: $(m-n-k)(m-n+k)$

3) В выражении $(a+2b)^2 - 9a^2$ необходимо сначала представить второй член $9a^2$ в виде квадрата. Так как $9a^2 = (3a)^2$, исходное выражение можно переписать как разность квадратов: $(a+2b)^2 - (3a)^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $x = a+2b$ и $y = 3a$:
$((a+2b) - 3a)((a+2b) + 3a)$
Теперь упростим выражения в каждой из полученных скобок:
Первая скобка: $a+2b-3a = 2b-2a = 2(b-a)$.
Вторая скобка: $a+2b+3a = 4a+2b = 2(2a+b)$.
Перемножив и сгруппировав числовые множители, получаем окончательный результат:
$2(b-a) \cdot 2(2a+b) = 4(b-a)(2a+b)$.
Ответ: $4(b-a)(2a+b)$

4) Рассмотрим выражение $(3x-y)^2 - 4y^2$. Представим член $4y^2$ в виде квадрата: $4y^2 = (2y)^2$. Таким образом, выражение принимает вид разности квадратов: $(3x-y)^2 - (2y)^2$.
Воспользуемся формулой разности квадратов, где $x = 3x-y$ и $y = 2y$:
$((3x-y) - 2y)((3x-y) + 2y)$
Далее упростим выражения в скобках, приводя подобные слагаемые:
Первая скобка: $3x-y-2y = 3x-3y = 3(x-y)$.
Вторая скобка: $3x-y+2y = 3x+y$.
В результате разложения на множители получаем:
$3(x-y)(3x+y)$.
Ответ: $3(x-y)(3x+y)$

529. 1) $(a-b)^2 - (a-c)^2;$

2) $(a+b)^2 - (b+c)^2;$

3) $(2a+b)^2 - (2b+a)^2;$

4) $(a+3b)^2 - (3a+b)^2$.

1) Для упрощения данного выражения используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае, пусть $x = a - b$ и $y = a - c$. Подставим эти значения в формулу:

$(a - b)^2 - (a - c)^2 = ((a - b) - (a - c)) \cdot ((a - b) + (a - c))$

Теперь раскроем скобки внутри каждого множителя и приведем подобные слагаемые:

Первый множитель: $(a - b - a + c) = (c - b)$

Второй множитель: $(a - b + a - c) = (2a - b - c)$

Перемножив полученные выражения, получаем окончательный результат:

$(c - b)(2a - b - c)$

Ответ: $(c - b)(2a - b - c)$.

2) Аналогично первому пункту, применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + b$ и $y = b + c$.

$(a + b)^2 - (b + c)^2 = ((a + b) - (b + c)) \cdot ((a + b) + (b + c))$

Раскроем скобки и упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(a + b - b - c) = (a - c)$

Второй множитель: $(a + b + b + c) = (a + 2b + c)$

Результат представляет собой произведение этих двух множителей:

$(a - c)(a + 2b + c)$

Ответ: $(a - c)(a + 2b + c)$.

3) Используем ту же формулу разности квадратов. Здесь $x = 2a + b$ и $y = 2b + a$.

$(2a + b)^2 - (2b + a)^2 = ((2a + b) - (2b + a)) \cdot ((2a + b) + (2b + a))$

Упростим выражения в скобках:

Первый множитель: $(2a + b - 2b - a) = (a - b)$

Второй множитель: $(2a + b + 2b + a) = (3a + 3b)$

Во втором множителе можно вынести общий множитель 3 за скобки: $3(a + b)$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$(a - b) \cdot 3(a + b) = 3(a - b)(a + b)$

Это также можно записать как $3(a^2 - b^2)$.

Ответ: $3(a - b)(a + b)$.

4) Снова применяем формулу разности квадратов. В этом случае $x = a + 3b$ и $y = 3a + b$.

$(a + 3b)^2 - (3a + b)^2 = ((a + 3b) - (3a + b)) \cdot ((a + 3b) + (3a + b))$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(a + 3b - 3a - b) = (2b - 2a)$

Второй множитель: $(a + 3b + 3a + b) = (4a + 4b)$

Вынесем общие множители из каждого выражения: $2(b - a)$ и $4(a + b)$.

Перемножим их:

$2(b - a) \cdot 4(a + b) = 8(b - a)(a + b)$

Данное выражение также можно записать в виде $8(b^2 - a^2)$.

Ответ: $8(b - a)(a + b)$.

530. Вычислить:

1) $47^2 - 37^2;$

2) $54^2 - 44^2;$

3) $50,7^2 - 50,6^2;$

4) $29,4^2 - 29,3^2;$

5) $(6\frac{2}{3})^2 - (5\frac{1}{3})^2;$

6) $(7\frac{5}{9})^2 - (4\frac{4}{9})^2.$

1) Для вычисления выражения $47^2 - 37^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = 47$ и $b = 37$.
Подставляем значения в формулу:
$47^2 - 37^2 = (47 - 37)(47 + 37) = 10 \cdot 84 = 840$.
Ответ: 840.

2) Для вычисления выражения $54^2 - 44^2$ используем ту же формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = 54$ и $b = 44$.
Выполняем подстановку:
$54^2 - 44^2 = (54 - 44)(54 + 44) = 10 \cdot 98 = 980$.
Ответ: 980.

3) Выражение $50,7^2 - 50,6^2$ также вычисляется с помощью формулы разности квадратов.
Пусть $a = 50,7$ и $b = 50,6$.
Применяем формулу:
$50,7^2 - 50,6^2 = (50,7 - 50,6)(50,7 + 50,6) = 0,1 \cdot 101,3 = 10,13$.
Ответ: 10,13.

4) Для выражения $29,4^2 - 29,3^2$ снова используем формулу разности квадратов.
Здесь $a = 29,4$ и $b = 29,3$.
Подставляем и вычисляем:
$29,4^2 - 29,3^2 = (29,4 - 29,3)(29,4 + 29,3) = 0,1 \cdot 58,7 = 5,87$.
Ответ: 5,87.

5) Для вычисления выражения $(6\frac{2}{3})^2 - (5\frac{1}{3})^2$ применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В этом случае $a = 6\frac{2}{3}$ и $b = 5\frac{1}{3}$.
Найдем разность и сумму:
$a - b = 6\frac{2}{3} - 5\frac{1}{3} = (6 - 5) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 1\frac{1}{3}$.
$a + b = 6\frac{2}{3} + 5\frac{1}{3} = (6 + 5) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 11 + 1 = 12$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(1\frac{1}{3}) \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = \frac{4 \cdot 12}{3} = 4 \cdot 4 = 16$.
Ответ: 16.

6) Выражение $(7\frac{5}{9})^2 - (4\frac{4}{9})^2$ вычисляется аналогично предыдущим, используя формулу разности квадратов.
Здесь $a = 7\frac{5}{9}$ и $b = 4\frac{4}{9}$.
Вычислим разность и сумму:
$a - b = 7\frac{5}{9} - 4\frac{4}{9} = (7 - 4) + (\frac{5}{9} - \frac{4}{9}) = 3 + \frac{1}{9} = 3\frac{1}{9}$.
$a + b = 7\frac{5}{9} + 4\frac{4}{9} = (7 + 4) + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) = 11 + \frac{9}{9} = 11 + 1 = 12$.
Перемножим результаты. Представим $3\frac{1}{9}$ в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$.
$\frac{28}{9} \cdot 12 = \frac{28 \cdot 12}{9} = \frac{28 \cdot 4}{3} = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3}$.
Ответ: $37\frac{1}{3}$.

531. Решить уравнение:

1) $(x-1)(x+1) = x^2 - 2(x-3)$;

2) $3(x+5) - x^2 = (2-x)(2+x)$;

3) $(2x+3)(2x+3) - 4(x-1)(x+1) = 49$;

4) $(3x+1)(3x+1) - (3x-2)(2+3x) = 17$.

1) $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 2(x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части распределим множитель $-2$.

$x^2 - 1^2 = x^2 - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3)$

$x^2 - 1 = x^2 - 2x + 6$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую. Обратим внимание, что $x^2$ присутствует в обеих частях и взаимно уничтожается.

$x^2 - x^2 + 2x = 6 + 1$

Приведем подобные слагаемые.

$2x = 7$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2.

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $3.5$.

2) $3(x + 5) - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$3x + 15 - x^2 = 2^2 - x^2$

$3x + 15 - x^2 = 4 - x^2$

Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичных членов.

$3x + 15 = 4$

Перенесем 15 в правую часть с противоположным знаком.

$3x = 4 - 15$

$3x = -11$

Разделим обе части на 3.

$x = -\frac{11}{3}$

Ответ: $-\frac{11}{3}$.

3) $(2x + 3)(2x + 3) - 4(x - 1)(x + 1) = 49$

Упростим левую часть уравнения. Выражение $(2x + 3)(2x + 3)$ является квадратом суммы $(2x+3)^2$, а выражение $(x-1)(x+1)$ — разностью квадратов $x^2-1$.

$(2x + 3)^2 - 4(x^2 - 1) = 49$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 9) - 4(x^2 - 1) = 49$

$4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 4 = 49$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(4x^2 - 4x^2) + 12x + (9 + 4) = 49$

$12x + 13 = 49$

Перенесем 13 в правую часть.

$12x = 49 - 13$

$12x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части на 12.

$x = \frac{36}{12} = 3$

Ответ: $3$.

4) $(3x + 1)(3x + 1) - (3x - 2)(2 + 3x) = 17$

Упростим левую часть уравнения. Первое слагаемое — это квадрат суммы $(3x+1)^2$. Второе слагаемое — это произведение разности и суммы, $(3x-2)(3x+2)$, что равно разности квадратов.

$(3x + 1)^2 - (3x - 2)(3x + 2) = 17$

Раскроем скобки, используя соответствующие формулы сокращенного умножения.

$(9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1) - ((3x)^2 - 2^2) = 17$

$(9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 4) = 17$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 4 = 17$

Приведем подобные слагаемые.

$(9x^2 - 9x^2) + 6x + (1 + 4) = 17$

$6x + 5 = 17$

Перенесем 5 в правую часть.

$6x = 17 - 5$

$6x = 12$

Найдем $x$, разделив обе части на 6.

$x = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: $2$.

532. Выполнить умножение:

1) $(3 + x)(3 - x)(9 + x^2);$

2) $(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y);$

3) $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1);$

4) $(3a - 2b)(3a + 2b)(9a^2 + 4b^2).$

1) $(3+x)(3-x)(9+x^2)$

Для решения этого примера мы последовательно воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Сначала умножим первые две скобки: $(3+x)(3-x)$. В этом случае $a=3$ и $b=x$.

$(3+x)(3-x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $(9-x^2)(9+x^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов, где на этот раз $a=9$ и $b=x^2$.

$(9-x^2)(9+x^2) = 9^2 - (x^2)^2 = 81 - x^4$.

Ответ: $81 - x^4$.

2) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

Для удобства вычислений изменим порядок множителей: $(4x^2+y^2)((2x+y)(2x-y))$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению $(2x+y)(2x-y)$, где $a=2x$ и $b=y$.

$(2x+y)(2x-y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$.

Подставим полученный результат в исходное выражение: $(4x^2+y^2)(4x^2-y^2)$.

Еще раз воспользуемся той же формулой, но теперь $a=4x^2$ и $b=y^2$.

$(4x^2+y^2)(4x^2-y^2) = (4x^2)^2 - (y^2)^2 = 16x^4 - y^4$.

Ответ: $16x^4 - y^4$.

3) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$

Перегруппируем множители для применения формулы сокращенного умножения: $(x^2+1)((x+1)(x-1))$.

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для произведения $(x+1)(x-1)$, где $a=x$ и $b=1$.

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь выражение принимает вид: $(x^2+1)(x^2-1)$.

Снова применяем формулу разности квадратов, где $a=x^2$ и $b=1$.

$(x^2+1)(x^2-1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

Ответ: $x^4 - 1$.

4) $(3a-2b)(3a+2b)(9a^2+4b^2)$

Сначала умножим первые два множителя, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x=3a$ и $y=2b$.

$(3a-2b)(3a+2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$.

Подставим полученный результат в исходное выражение: $(9a^2 - 4b^2)(9a^2 + 4b^2)$.

Еще раз применим формулу разности квадратов, где $x=9a^2$ и $y=4b^2$.

$(9a^2 - 4b^2)(9a^2 + 4b^2) = (9a^2)^2 - (4b^2)^2 = 81a^4 - 16b^4$.

Ответ: $81a^4 - 16b^4$.

533. Вычислить:

1) $\frac{49^2 - 21^2}{57^2 - 15^2}$;

2) $\frac{63^2 - 27^2}{78^2 - 30^2}$;

3) $\frac{40,7^2 - 40,6^2}{32,3^2 - 5,2^2}$;

4) $\frac{51,3^2 - 11,3^2}{113,9^2 - 73,9^2}$.

1) Для решения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:
$\frac{49^2 - 21^2}{57^2 - 15^2} = \frac{(49 - 21)(49 + 21)}{(57 - 15)(57 + 15)}$
Вычислим значения в скобках:
$49 - 21 = 28$
$49 + 21 = 70$
$57 - 15 = 42$
$57 + 15 = 72$
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{28 \cdot 70}{42 \cdot 72}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{28 \cdot 70}{42 \cdot 72} = \frac{28}{42} \cdot \frac{70}{72} = \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14} \cdot \frac{35 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{35}{36} = \frac{2 \cdot 35}{3 \cdot 36} = \frac{70}{108} = \frac{35}{54}$.
Ответ: $\frac{35}{54}$

2) Используем ту же формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\frac{63^2 - 27^2}{78^2 - 30^2} = \frac{(63 - 27)(63 + 27)}{(78 - 30)(78 + 30)} = \frac{36 \cdot 90}{48 \cdot 108}$
Сократим дробь:
$\frac{36}{48} \cdot \frac{90}{108} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} \cdot \frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 18} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$

3) Применим формулу разности квадратов для десятичных дробей.
$\frac{40,7^2 - 40,6^2}{32,3^2 - 5,2^2} = \frac{(40,7 - 40,6)(40,7 + 40,6)}{(32,3 - 5,2)(32,3 + 5,2)} = \frac{0,1 \cdot 81,3}{27,1 \cdot 37,5}$
Заметим, что $81,3 = 3 \cdot 27,1$. Подставим это в выражение:
$\frac{0,1 \cdot (3 \cdot 27,1)}{27,1 \cdot 37,5} = \frac{0,1 \cdot 3}{37,5} = \frac{0,3}{37,5}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$\frac{0,3 \cdot 10}{37,5 \cdot 10} = \frac{3}{375}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3 : 3}{375 : 3} = \frac{1}{125}$.
Ответ: $\frac{1}{125}$

4) Аналогично предыдущим примерам, используем формулу разности квадратов.
$\frac{51,3^2 - 11,3^2}{113,9^2 - 73,9^2} = \frac{(51,3 - 11,3)(51,3 + 11,3)}{(113,9 - 73,9)(113,9 + 73,9)} = \frac{40 \cdot 62,6}{40 \cdot 187,8}$
Сократим дробь на общий множитель 40:
$\frac{62,6}{187,8}$
Заметим, что $187,8 = 3 \cdot 62,6$.
$\frac{62,6}{3 \cdot 62,6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

534. Доказать, что разность квадратов любого натурального числа (большего 1) и числа, ему предшествующего в ряду натуральных чисел, есть нечётное число.

Пусть $n$ — произвольное натуральное число, большее 1. Это означает, что $n \in \mathbb{N}$ и $n > 1$. Число, которое ему предшествует в ряду натуральных чисел, будет равно $n-1$.

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов является нечётным числом. Запишем это утверждение в виде математического выражения: $n^2 - (n-1)^2$

Для упрощения данного выражения можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = n$ и $b = n-1$. Применим формулу: $n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1))$

Теперь упростим выражения в скобках: $(n - n + 1)(n + n - 1) = (1)(2n - 1) = 2n - 1$

Результатом вычислений стало выражение $2n - 1$. По определению, нечётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k-1$ или $2k+1$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то оно также является целым. Произведение $2n$ всегда будет чётным числом. Если из чётного числа вычесть 1, результат всегда будет нечётным числом. Следовательно, выражение $2n - 1$ всегда обозначает нечётное число.

Таким образом, доказано, что разность квадратов любого натурального числа (большего 1) и предшествующего ему числа всегда является нечётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов равна $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$, что является общей формулой нечётного числа для любого натурального $n$.

535. Доказать, что число $(7n+1)^2 - (2n-4)^2$ делится на 15 при любом натуральном $n$.

Чтобы доказать, что число $(7n + 1)^2 - (2n - 4)^2$ делится на 15 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 7n + 1$ и $b = 2n - 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$(7n + 1)^2 - (2n - 4)^2 = ((7n + 1) - (2n - 4)) \cdot ((7n + 1) + (2n - 4))$

Упростим выражения в каждой из скобок.

Разность:

$7n + 1 - 2n + 4 = 5n + 5$

Сумма:

$7n + 1 + 2n - 4 = 9n - 3$

Теперь наше выражение имеет вид произведения двух скобок:

$(5n + 5)(9n - 3)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$5(n + 1) \cdot 3(3n - 1)$

Перегруппируем множители, чтобы показать делимость на 15:

$5 \cdot 3 \cdot (n + 1)(3n - 1) = 15 \cdot (n + 1)(3n - 1)$

Так как $n$ — натуральное число ($n \geq 1$), то $n+1$ и $3n-1$ являются целыми числами. Их произведение $(n+1)(3n-1)$ также является целым числом.

В результате мы представили исходное выражение в виде произведения числа 15 и целого числа. Это доказывает, что выражение $(7n + 1)^2 - (2n - 4)^2$ делится на 15 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Исходное выражение было преобразовано к виду $15 \cdot (n + 1)(3n - 1)$. Поскольку один из множителей равен 15, а второй множитель $(n + 1)(3n - 1)$ является целым числом при любом натуральном $n$, то все выражение делится на 15.

536. Разложить на множители:

1) $(a+b)^3 - (a-b)^3 - 8b^3;$

2) $(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 - a^2;$

3) $(a^4+b^4)^2 - (a^4-b^4)^2 - a^2b^2;$

4) $9a^4 - 13a^2b^2 + 4b^4.$

1) $(a+b)^3 - (a-b)^3 - 8b^3$

Сначала раскроем кубы первых двух слагаемых, используя формулы куба суммы и куба разности: $(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3$.

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Вычтем второе из первого:

$(a+b)^3 - (a-b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 = 6a^2b + 2b^3$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(6a^2b + 2b^3) - 8b^3 = 6a^2b - 6b^3$.

Вынесем общий множитель $6b$ за скобки:

$6b(a^2 - b^2)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$6b(a-b)(a+b)$.

Ответ: $6b(a-b)(a+b)$.

2) $(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 - a^2$

К первым двум слагаемым применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a^2+b^2$ и $y = a^2-b^2$.

$(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 = ((a^2+b^2) - (a^2-b^2))((a^2+b^2) + (a^2-b^2)) = (a^2+b^2-a^2+b^2)(a^2+b^2+a^2-b^2) = (2b^2)(2a^2) = 4a^2b^2$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$4a^2b^2 - a^2$.

Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^2(4b^2 - 1)$.

Выражение в скобках является разностью квадратов $4b^2 - 1 = (2b)^2 - 1^2 = (2b-1)(2b+1)$.

Таким образом, получаем:

$a^2(2b-1)(2b+1)$.

Ответ: $a^2(2b-1)(2b+1)$.

3) $(a^4+b^4)^2 - (a^4-b^4)^2 - a^2b^2$

Это выражение похоже на предыдущее. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к первым двум членам, где $x = a^4+b^4$ и $y = a^4-b^4$.

$(a^4+b^4)^2 - (a^4-b^4)^2 = ((a^4+b^4) - (a^4-b^4))((a^4+b^4) + (a^4-b^4)) = (a^4+b^4-a^4+b^4)(a^4+b^4+a^4-b^4) = (2b^4)(2a^4) = 4a^4b^4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$4a^4b^4 - a^2b^2$.

Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:

$a^2b^2(4a^2b^2 - 1)$.

Выражение в скобках — это разность квадратов $4a^2b^2 - 1 = (2ab)^2 - 1^2 = (2ab-1)(2ab+1)$.

В итоге получаем:

$a^2b^2(2ab-1)(2ab+1)$.

Ответ: $a^2b^2(2ab-1)(2ab+1)$.

4) $9a^4 - 13a^2b^2 + 4b^4$

Это выражение является биквадратным трехчленом. Представим средний член $-13a^2b^2$ в виде суммы $-9a^2b^2 - 4a^2b^2$ и сгруппируем слагаемые:

$9a^4 - 9a^2b^2 - 4a^2b^2 + 4b^4 = (9a^4 - 9a^2b^2) - (4a^2b^2 - 4b^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$9a^2(a^2 - b^2) - 4b^2(a^2 - b^2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(9a^2 - 4b^2)$.

Оба множителя в скобках являются разностями квадратов. Разложим каждый из них:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a-2b)(3a+2b)$

Объединяем все множители:

$(a-b)(a+b)(3a-2b)(3a+2b)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(3a-2b)(3a+2b)$.