Номер 524, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

524. 1) $(c^2 + d^2)(c^2 - d^2)$;

2) $(a^2 + b^3)(a^2 - b^3)$;

3) $(x^4 - y^3)(y^3 + x^4)$;

4) $(m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$.

1) Для упрощения выражения $(c^2 + d^2)(c^2 - d^2)$ применяется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае в роли $a$ выступает $c^2$, а в роли $b$ — $d^2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:
$(c^2 + d^2)(c^2 - d^2) = (c^2)^2 - (d^2)^2$.
Далее, используя свойство степени «при возведении степени в степень показатели перемножаются» $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, находим:
$(c^2)^2 = c^{2 \cdot 2} = c^4$
$(d^2)^2 = d^{2 \cdot 2} = d^4$
Таким образом, итоговое выражение равно $c^4 - d^4$.
Ответ: $c^4 - d^4$.

2) Выражение $(a^2 + b^3)(a^2 - b^3)$ также представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Снова воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = a^2$ и $b = b^3$. Применяя формулу, получаем:
$(a^2 + b^3)(a^2 - b^3) = (a^2)^2 - (b^3)^2$.
По свойству возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$:
$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$
$(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$
Следовательно, результат равен $a^4 - b^6$.
Ответ: $a^4 - b^6$.

3) В выражении $(x^4 - y^3)(y^3 + x^4)$ для удобства применения формулы можно поменять местами слагаемые во второй скобке, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативное свойство сложения): $(y^3 + x^4) = (x^4 + y^3)$. Теперь выражение имеет вид $(x^4 - y^3)(x^4 + y^3)$, что полностью соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В этом случае $a = x^4$ и $b = y^3$. Применим формулу:
$(x^4 - y^3)(x^4 + y^3) = (x^4)^2 - (y^3)^2$.
Используя свойство степени $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, находим:
$(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$
$(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$
Таким образом, итоговый результат равен $x^8 - y^6$.
Ответ: $x^8 - y^6$.

4) Для упрощения выражения $(m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$ снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном примере $a = m^3$ и $b = n^3$. Подставив эти значения в формулу, получаем:
$(m^3 - n^3)(m^3 + n^3) = (m^3)^2 - (n^3)^2$.
Применяя правило возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, получаем:
$(m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$
$(n^3)^2 = n^{3 \cdot 2} = n^6$
Итоговый результат: $m^6 - n^6$.
Ответ: $m^6 - n^6$.