Номер 522, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

522. 1) $a^4 - b^4$;

2) $a^4 - b^8$;

3) $a^4 - 16$;

4) $b^4 - 81$.

1) $a^4 - b^4$

Для разложения данного выражения на множители мы будем использовать формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим $a^4$ и $b^4$ в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(a^2)^2 - (b^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Обратим внимание, что первый множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов. Мы можем разложить его дальше, используя ту же формулу:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Второй множитель $(a^2 + b^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение имеет вид:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

2) $a^4 - b^8$

Это выражение также можно разложить с помощью формулы разности квадратов. Представим $a^4$ и $b^8$ как квадраты выражений: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$.

Выражение принимает вид: $(a^2)^2 - (b^4)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = b^4$:

$(a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$

Множитель $(a^2 - b^4)$ снова является разностью квадратов, так как $b^4 = (b^2)^2$. Разложим его:

$a^2 - b^4 = a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$

Множитель $(a^2 + b^4)$ является суммой квадратов и не раскладывается.

Собираем все вместе:

$(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$

Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$

3) $a^4 - 16$

Для разложения этого выражения используем тот же метод. Представим $a^4$ и $16$ в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$.

Получаем выражение: $(a^2)^2 - 4^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 4$:

$(a^2 - 4)(a^2 + 4)$

Множитель $(a^2 - 4)$ — это разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Разложим его:

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$

Множитель $(a^2 + 4)$ не раскладывается.

Окончательный результат:

$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

4) $b^4 - 81$

Аналогично предыдущим примерам, представим выражение в виде разности квадратов. Мы знаем, что $b^4 = (b^2)^2$ и $81 = 9^2$.

Выражение принимает вид: $(b^2)^2 - 9^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x = b^2$ и $y = 9$:

$(b^2 - 9)(b^2 + 9)$

Множитель $(b^2 - 9)$ — это разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Разложим его:

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Множитель $(b^2 + 9)$ не раскладывается.

Полное разложение выглядит так:

$(b - 3)(b + 3)(b^2 + 9)$

Ответ: $(b - 3)(b + 3)(b^2 + 9)$