Номер 4, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Разложить на множители:

1) $k^6n^4 - k^3n^2$;

2) $42a^3b^4 - 12abc$;

3) $3b + 12 - ab - 4a.$

1) Для разложения на множители выражения $k^6n^4 - k^3n^2$ необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Общий множитель состоит из переменных в наименьшей степени, в которой они входят в каждый член многочлена.
Переменная $k$ входит в первый член в степени 6 ($k^6$) и во второй в степени 3 ($k^3$). Наименьшая степень равна 3, поэтому общий множитель содержит $k^3$.
Переменная $n$ входит в первый член в степени 4 ($n^4$) и во второй в степени 2 ($n^2$). Наименьшая степень равна 2, поэтому общий множитель содержит $n^2$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $k^3n^2$.
Вынесем $k^3n^2$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $k^3n^2$:
$k^6n^4 - k^3n^2 = k^3n^2 \cdot (\frac{k^6n^4}{k^3n^2} - \frac{k^3n^2}{k^3n^2})$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^p} = a^{m-p}$, получаем:
$k^3n^2 \cdot (k^{6-3}n^{4-2} - 1) = k^3n^2(k^3n^2 - 1)$
Ответ: $k^3n^2(k^3n^2 - 1)$.

2) Для разложения на множители выражения $42a^3b^4 - 12abc$ найдем общий множитель для обоих членов.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 42 и 12.
Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОД(42, 12) = $2 \cdot 3 = 6$.
Теперь рассмотрим переменные.
Переменная $a$ входит в первый член в степени 3 ($a^3$) и во второй в степени 1 ($a$). Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель содержит $a$.
Переменная $b$ входит в первый член в степени 4 ($b^4$) и во второй в степени 1 ($b$). Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель содержит $b$.
Переменная $c$ входит только во второй член, поэтому она не является общим множителем.
Общий множитель для всего выражения равен $6ab$.
Вынесем $6ab$ за скобки:
$42a^3b^4 - 12abc = 6ab \cdot (\frac{42a^3b^4}{6ab} - \frac{12abc}{6ab}) = 6ab(7a^{3-1}b^{4-1} - 2c) = 6ab(7a^2b^3 - 2c)$
Ответ: $6ab(7a^2b^3 - 2c)$.

3) Для разложения на множители многочлена $3b + 12 - ab - 4a$ воспользуемся методом группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(3b + 12) + (-ab - 4a)$
Из первой группы $(3b + 12)$ вынесем за скобки общий множитель 3:
$3(b + 4)$
Из второй группы $(-ab - 4a)$ вынесем за скобки общий множитель $-a$:
$-a(b + 4)$
Теперь выражение имеет вид:
$3(b + 4) - a(b + 4)$
Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(b + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(b + 4)(3 - a)$
Разложение на множители завершено.
Ответ: $(b + 4)(3 - a)$.