Номер 4, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. С помощью рисунка 17 обосновать формулу разности квадратов двух чисел.

$AB = BC = a$

$S_{ABCD} = a^2$

$S_{AEFG} = b^2$

$S_{GFEBCD} = S_{EBHL}$

$S_{GFEBCD} = a^2 - b^2$

$S_{EBHL} = (a-b)(a+b)$

Рис. 17

Формулу разности квадратов двух чисел, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, можно обосновать с помощью геометрических построений, показанных на рисунке 17. Разобьем доказательство на несколько логических шагов.

Сначала рассмотрим L-образную фигуру GFEBCD. Её площадь можно представить как разность площадей двух квадратов. Если взять большой квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$, и вырезать из его угла меньший квадрат AEFG со стороной $b$ и площадью $b^2$, то оставшаяся площадь будет равна площади фигуры GFEBCD. Таким образом, мы можем записать:

$S_{GFEBCD} = a^2 - b^2$

Далее, как показано на рисунке, L-образную фигуру GFEBCD можно преобразовать в прямоугольник EBHL. Это достигается путем "отрезания" нижнего прямоугольника (соответствующего FGDM) и его "приставления" сбоку (в виде прямоугольника CHML). Поскольку преобразование заключается лишь в перемещении части фигуры, общая площадь сохраняется. Следовательно, площади исходной фигуры и полученного прямоугольника равны:

$S_{GFEBCD} = S_{EBHL}$

Теперь найдем площадь прямоугольника EBHL, вычислив длины его сторон.

• Одна сторона прямоугольника — это EB. Её длина получается вычитанием длины отрезка AE ($=b$) из полной высоты исходного квадрата ($=a$). Таким образом, $EB = a - b$.
• Вторая сторона — это BH. Она состоит из двух отрезков: BC и CH. Согласно обозначениям на рисунке, длина отрезка BC равна $a$. Длина отрезка CH равна стороне перемещенного прямоугольника, которая, в свою очередь, равна стороне FG малого квадрата, то есть $b$. Таким образом, полная длина стороны BH составляет $BH = BC + CH = a + b$.

Площадь прямоугольника EBHL равна произведению длин его сторон:

$S_{EBHL} = EB \cdot BH = (a-b)(a+b)$

Так как мы установили, что $S_{GFEBCD} = a^2 - b^2$ и $S_{GFEBCD} = S_{EBHL} = (a-b)(a+b)$, мы можем приравнять эти выражения. В результате получаем искомую формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Ответ: Формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ обосновывается тем, что площадь фигуры, полученной вычитанием из квадрата со стороной $a$ квадрата со стороной $b$ (равная $a^2 - b^2$), путем геометрических преобразований оказывается равной площади прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$ (площадь которого равна $(a-b)(a+b)$).