Номер 516, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Разложить многочлен на множители (516–517).

516.

1) $x^2 + 3x + 2;$

2) $x^2 - 5x + 6;$

3) $x^2 - 7x - 8;$

4) $x^2 + 9x - 10.$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, можно найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то разложение имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

1) $x^2 + 3x + 2$

Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Коэффициенты: $b=3$, $c=2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Теперь найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 + 3x + 2 = 1 \cdot (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 2)$.

2) $x^2 - 5x + 6$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Выполним разложение на множители:

$x^2 - 5x + 6 = 1 \cdot (x - 3)(x - 2) = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

3) $x^2 - 7x - 8$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=-8$.

Дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Выполним разложение на множители:

$x^2 - 7x - 8 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-1)) = (x - 8)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x - 8)$.

4) $x^2 + 9x - 10$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=9$, $c=-10$.

Дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Выполним разложение на множители:

$x^2 + 9x - 10 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-10)) = (x - 1)(x + 10)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 10)$.