Номер 511, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

511. 1) $xy^2-by^2-ax+ab+y^2-a;$

2) $ax^2-ay-bx^2+cy+by-cx^2;$

3) $a^2x^2-bx^2+a^2x-bx+a^2y-by;$

4) $ax^2-bx^2+ay-by-ax+b.$

1) Для разложения на множители многочлена $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Объединим члены с $y^2$ в одну группу, а члены с $a$ — в другую.

$(xy^2 - by^2 + y^2) + (-ax + ab - a)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $y^2$, а из второй — $-a$.

$y^2(x - b + 1) - a(x - b + 1)$

Теперь мы видим, что обе группы имеют общий множитель $(x - b + 1)$. Вынесем его за скобки.

$(y^2 - a)(x - b + 1)$

Ответ: $(y^2 - a)(x - b + 1)$

2) Разложим на множители многочлен $ax^2 - ay - bx^2 + cy + by - cx^2$. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x^2$, и члены, содержащие переменную $y$.

$(ax^2 - bx^2 - cx^2) + (-ay + by + cy)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2$ из первой и $y$ из второй.

$x^2(a - b - c) + y(-a + b + c)$

Заметим, что выражение в скобках у второго слагаемого можно представить как $-(a - b - c)$. Перепишем выражение:

$x^2(a - b - c) - y(a - b - c)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a - b - c)$ за скобки.

$(x^2 - y)(a - b - c)$

Ответ: $(x^2 - y)(a - b - c)$

3) Разложим на множители многочлен $a^2x^2 - bx^2 + a^2x - bx + a^2y - by$. Сгруппируем члены по общим множителям. В данном случае удобно сгруппировать члены, имеющие одинаковые переменные части.

$(a^2x^2 - bx^2) + (a^2x - bx) + (a^2y - by)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$, из второй — $x$, из третьей — $y$.

$x^2(a^2 - b) + x(a^2 - b) + y(a^2 - b)$

Все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(a^2 - b)$. Вынесем его за скобки.

$(x^2 + x + y)(a^2 - b)$

Ответ: $(a^2 - b)(x^2 + x + y)$

4) Для разложения на множители многочлена $ax^2 - bx^2 + ay - by - ax + b$ методом группировки в его исходном виде не удается получить общий множитель. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятным исправлением является замена члена $-ax$ на $-a$. Решим задачу для исправленного выражения $ax^2 - bx^2 + ay - by - a + b$.

Сгруппируем члены следующим образом:

$(ax^2 - bx^2) + (ay - by) - (a - b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$, из второй — $y$.

$x^2(a - b) + y(a - b) - 1(a - b)$

Теперь вынесем общий для всех членов множитель $(a - b)$ за скобки.

$(a - b)(x^2 + y - 1)$

Ответ (для исправленного выражения): $(a - b)(x^2 + y - 1)$