Страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Разложить на множители многочлен:

1) $15x^3yz^2 - 12x^2z^3 + 18xy^2z^4;$

2) $-7a^5b^6c^3 + 21b^5c^2 - 105a^4c^6.$

1) Чтобы разложить многочлен $15x^3yz^2 - 12x^2z^3 + 18xy^2z^4$ на множители, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его одночленов. Для этого определим НОД коэффициентов и общие переменные в наименьшей степени.

Шаг 1: Находим НОД для коэффициентов 15, 12 и 18.

• Разложение на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$; $12 = 2^2 \cdot 3$; $18 = 2 \cdot 3^2$.
• Общий множитель для всех трех чисел - это 3. Значит, НОД(15, 12, 18) = 3.

Шаг 2: Находим общие переменные в наименьших степенях.

• Переменная $x$ присутствует во всех членах в степенях 3, 2 и 1. Наименьшая степень - 1. Общий множитель - $x$.
• Переменная $y$ присутствует в первом ($y^1$) и третьем ($y^2$) членах, но отсутствует во втором. Следовательно, $y$ не является общим множителем.
• Переменная $z$ присутствует во всех членах в степенях 2, 3 и 4. Наименьшая степень - 2. Общий множитель - $z^2$.

Шаг 3: Объединяем полученные результаты. Общий множитель для всего многочлена - $3xz^2$.

Шаг 4: Выносим общий множитель $3xz^2$ за скобки. Для этого делим каждый член исходного многочлена на $3xz^2$.

$15x^3yz^2 - 12x^2z^3 + 18xy^2z^4 = 3xz^2 \cdot (\frac{15x^3yz^2}{3xz^2} - \frac{12x^2z^3}{3xz^2} + \frac{18xy^2z^4}{3xz^2}) = 3xz^2(5x^2y - 4xz + 6y^2z^2)$

Ответ: $3xz^2(5x^2y - 4xz + 6y^2z^2)$

2) Чтобы разложить многочлен $-7a^5b^6c^3 + 21b^5c^2 - 105a^4c^6$ на множители, выполним аналогичные действия.

Шаг 1: Находим НОД для абсолютных значений коэффициентов 7, 21 и 105.

• Разложение на простые множители: 7 - простое число; $21 = 3 \cdot 7$; $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.
• Общий множитель для всех трех чисел - это 7. Значит, НОД(7, 21, 105) = 7.
• Поскольку первый член многочлена отрицательный, принято выносить за скобки отрицательный коэффициент, т.е. -7.

Шаг 2: Находим общие переменные в наименьших степенях.

• Переменная $a$ отсутствует во втором члене, поэтому не является общим множителем.
• Переменная $b$ отсутствует в третьем члене, поэтому не является общим множителем.
• Переменная $c$ присутствует во всех членах в степенях 3, 2 и 6. Наименьшая степень - 2. Общий множитель - $c^2$.

Шаг 3: Объединяем полученные результаты. Общий множитель для всего многочлена - $-7c^2$.

Шаг 4: Выносим общий множитель $-7c^2$ за скобки.

$-7a^5b^6c^3 + 21b^5c^2 - 105a^4c^6 = -7c^2 \cdot (\frac{-7a^5b^6c^3}{-7c^2} + \frac{21b^5c^2}{-7c^2} - \frac{105a^4c^6}{-7c^2}) = -7c^2(a^5b^6c - 3b^5 + 15a^4c^4)$

Ответ: $-7c^2(a^5b^6c - 3b^5 + 15a^4c^4)$

2. Вычислить рациональным способом:

1) $0,3 \cdot 97,6 + 2,4 \cdot 0,3;$

2) $289 \cdot 15,4 - 15,4 \cdot 89.$

1)

Чтобы вычислить выражение $0.3 \cdot 97.6 + 2.4 \cdot 0.3$ рациональным способом, необходимо применить распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

В данном примере общим множителем является число $0.3$. Вынесем его за скобки:

$0.3 \cdot 97.6 + 2.4 \cdot 0.3 = 0.3 \cdot (97.6 + 2.4)$

Теперь выполним действие сложения в скобках:

$97.6 + 2.4 = 100$

Далее умножим общий множитель на полученную сумму:

$0.3 \cdot 100 = 30$

Ответ: 30

2)

Чтобы вычислить выражение $289 \cdot 15.4 - 15.4 \cdot 89$ рациональным способом, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания. Формула этого свойства: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

В этом примере общим множителем является число $15.4$. Вынесем его за скобки:

$289 \cdot 15.4 - 15.4 \cdot 89 = (289 - 89) \cdot 15.4$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$289 - 89 = 200$

Теперь умножим полученную разность на общий множитель:

$200 \cdot 15.4 = 3080$

Ответ: 3080

3. Решить уравнение:

1) $5x - 3 = 6$;

2) $4x + 7 = 6x + 5$;

3) $(x - 1)(x + 2) = 0$;

4) $(2x + 3)(x - 4) = 0$.

1) $5x - 3 = 6$

Это линейное уравнение с одной переменной. Для его решения необходимо изолировать переменную $x$.

Сначала перенесем свободный член $-3$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x = 6 + 3$

Выполним сложение в правой части:

$5x = 9$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 5:

$x = \frac{9}{5}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную:

$x = 1.8$

Ответ: $1.8$

2) $4x + 7 = 6x + 5$

Это также линейное уравнение. Чтобы его решить, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые (свободные члены) — в другой. Перенесем $4x$ в правую часть (сменив знак на минус), а $5$ — в левую часть (также сменив знак на минус).

$7 - 5 = 6x - 4x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$2 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Ответ: $1$

3) $(x - 1)(x + 2) = 0$

Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на два более простых уравнения:

$x - 1 = 0$ или $x + 2 = 0$

Решим каждое из них:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

2. $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; -2$

4) $(2x + 3)(x - 4) = 0$

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Приравняем каждый из множителей к нулю:

$2x + 3 = 0$ или $x - 4 = 0$

Решим каждое уравнение отдельно:

1. Из первого уравнения $2x + 3 = 0$ находим $x$:

$2x = -3$

$x_1 = -\frac{3}{2}$ или $x_1 = -1.5$

2. Из второго уравнения $x - 4 = 0$ находим $x$:

$x_2 = 4$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1.5; 4$

Разложить на множители (506–509).

506. 1) $a + b + c(a + b);$

2) $m - n + p(m - n);$

3) $x + 3a(x + y) + y;$

4) $x + 2a(x - y) - y.$

1) В выражении $a + b + c(a + b)$ сгруппируем первые два слагаемых: $(a + b)$. Таким образом, выражение можно представить как сумму двух слагаемых: $(a + b)$ и $c(a + b)$.
Общим множителем для этих слагаемых является выражение $(a + b)$. Вынесем его за скобки. Чтобы найти, что останется в скобках, разделим каждое слагаемое на общий множитель:
$(a + b) : (a + b) = 1$
$c(a + b) : (a + b) = c$
Таким образом, получаем: $(a + b)(1 + c)$.
Ответ: $(a + b)(1 + c)$.

2) В выражении $m - n + p(m - n)$ сгруппируем первые два слагаемых: $(m - n)$. Выражение можно представить как сумму двух слагаемых: $(m - n)$ и $p(m - n)$.
Общим множителем является выражение $(m - n)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго — $p$.
Получаем: $(m - n)(1 + p)$.
Ответ: $(m - n)(1 + p)$.

3) В выражении $x + 3a(x + y) + y$ сначала перегруппируем слагаемые, чтобы собрать вместе $x$ и $y$: $x + y + 3a(x + y)$.
Теперь сгруппируем первые два слагаемых: $(x + y)$. Таким образом, выражение можно представить как сумму двух слагаемых: $(x + y)$ и $3a(x + y)$.
Общим множителем является $(x + y)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго — $3a$.
Получаем: $(x + y)(1 + 3a)$.
Ответ: $(x + y)(1 + 3a)$.

4) В выражении $x + 2a(x - y) - y$ сначала перегруппируем слагаемые: $x - y + 2a(x - y)$.
Сгруппируем первые два слагаемых: $(x - y)$. Теперь выражение можно представить как сумму двух слагаемых: $(x - y)$ и $2a(x - y)$.
Общим множителем является $(x - y)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго — $2a$.
Получаем: $(x - y)(1 + 2a)$.
Ответ: $(x - y)(1 + 2a)$.

507. 1) $2m(m-n)+m-n;$

2) $4q(p-1)+p-1;$

3) $2m(m-n)+n-m;$

4) $4q(p-1)+1-p.$

1) Исходное выражение: $2m(m-n) + m - n$.

Чтобы разложить выражение на множители, необходимо найти общий множитель. В данном случае мы можем сгруппировать последние два слагаемых, заключив их в скобки:

$2m(m-n) + (m-n)$

Теперь видно, что выражение $(m-n)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Представим второе слагаемое как $1 \cdot (m-n)$, чтобы было нагляднее:

$2m \cdot (m-n) + 1 \cdot (m-n)$

Вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки. В скобках останется сумма того, что осталось от каждого слагаемого, то есть $2m$ и $1$.

$(m-n)(2m+1)$

Ответ: $(m-n)(2m+1)$

2) Исходное выражение: $4q(p-1) + p - 1$.

Действуем аналогично предыдущему примеру. Сгруппируем последние два слагаемых:

$4q(p-1) + (p-1)$

Общим множителем является выражение $(p-1)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого остается $4q$, а от второго (которое можно представить как $1 \cdot (p-1)$) остается $1$.

$4q \cdot (p-1) + 1 \cdot (p-1) = (p-1)(4q+1)$

Ответ: $(p-1)(4q+1)$

3) Исходное выражение: $2m(m-n) + n - m$.

Здесь мы видим, что в первом слагаемом есть множитель $(m-n)$, а вторым слагаемым является выражение $(n-m)$. Эти выражения отличаются только знаком: $n-m = -(m-n)$.

Преобразуем выражение, вынеся $-1$ за скобки во второй части:

$2m(m-n) + (-1)(m-n)$

Или проще:

$2m(m-n) - (m-n)$

Теперь мы снова видим общий множитель $(m-n)$. Вынесем его за скобки:

$(m-n)(2m-1)$

Ответ: $(m-n)(2m-1)$

4) Исходное выражение: $4q(p-1) + 1 - p$.

Этот пример похож на предыдущий. У нас есть множитель $(p-1)$ и слагаемое $(1-p)$. Заметим, что $1-p = -(p-1)$.

Заменим $(1-p)$ на $-(p-1)$ в исходном выражении:

$4q(p-1) - (p-1)$

Теперь общий множитель $(p-1)$ очевиден. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого остается $4q$, а от второго $-1$.

$(p-1)(4q-1)$

Ответ: $(p-1)(4q-1)$

508. 1) $ac + bc - 2ad - 2bd;$

2) $ac - 3bd + ad - 3bc;$

3) $2bx - 3ay - 6by + ax;$

4) $5ay - 3bx + ax - 15by.$

1) Для разложения многочлена $ac + bc - 2ad - 2bd$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:
$(ac + bc) + (-2ad - 2bd)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $c$, а во второй — общий множитель $-2d$:
$c(a + b) - 2d(a + b)$
Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a + b)$, который мы также выносим за скобки:
$(a + b)(c - 2d)$
Ответ: $(a + b)(c - 2d)$

2) Для разложения многочлена $ac - 3bd + ad - 3bc$ на множители перегруппируем слагаемые для удобства. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвертое со вторым:
$(ac + ad) + (-3bc - 3bd)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $-3b$:
$a(c + d) - 3b(c + d)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(c + d)$:
$(c + d)(a - 3b)$
Ответ: $(a - 3b)(c + d)$

3) Для разложения многочлена $2bx - 3ay - 6by + ax$ на множители перегруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:
$(2bx + ax) + (-3ay - 6by)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $-3y$:
$x(2b + a) - 3y(a + 2b)$
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a+2b = 2b+a$), мы можем вынести за скобки общий множитель $(a + 2b)$:
$(a + 2b)(x - 3y)$
Ответ: $(a + 2b)(x - 3y)$

4) Для разложения многочлена $5ay - 3bx + ax - 15by$ на множители перегруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а третье со вторым:
$(5ay - 15by) + (ax - 3bx)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $5y$, а во второй — общий множитель $x$:
$5y(a - 3b) + x(a - 3b)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - 3b)$:
$(a - 3b)(5y + x)$
Ответ: $(a - 3b)(x + 5y)$

509. 1) $18a^2 - 27ab + 14ac - 21bc;$

2) $10x^2 + 10xy + 5x + 5y;$

3) $35ax + 24xy - 20ay - 42x^2;$

4) $48xz^2 + 32xy^2 - 15yz^2 - 10y^3.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $18a^2 - 27ab + 14ac - 21bc$, применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые: $(18a^2 - 27ab) + (14ac - 21bc)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $9a$: $9a(2a - 3b)$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $7c$: $7c(2a - 3b)$.
Получим выражение: $9a(2a - 3b) + 7c(2a - 3b)$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2a - 3b)$: $(2a - 3b)(9a + 7c)$.

Ответ: $(2a - 3b)(9a + 7c)$

2) Разложим на множители многочлен $10x^2 + 10xy + 5x + 5y$. Сгруппируем слагаемые: $(10x^2 + 10xy) + (5x + 5y)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $10x$: $10x(x + y)$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $5$: $5(x + y)$.
Получим выражение: $10x(x + y) + 5(x + y)$.
Вынесем за скобки общий множитель $(x + y)$: $(x + y)(10x + 5)$.
Во втором множителе $(10x + 5)$ можно вынести за скобки $5$: $5(2x + 1)$.
Итоговый результат: $5(x + y)(2x + 1)$.

Ответ: $5(x + y)(2x + 1)$

3) Для разложения на множители многочлена $35ax + 24xy - 20ay - 42x^2$ перегруппируем слагаемые для удобства: $(35ax - 20ay) + (24xy - 42x^2)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $5a$: $5a(7x - 4y)$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $6x$: $6x(4y - 7x)$.
Заметим, что $(4y - 7x) = -(7x - 4y)$. Перепишем выражение: $5a(7x - 4y) - 6x(7x - 4y)$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(7x - 4y)$: $(7x - 4y)(5a - 6x)$.

Ответ: $(7x - 4y)(5a - 6x)$

4) Разложим на множители многочлен $48xz^2 + 32xy^2 - 15yz^2 - 10y^3$. Сгруппируем слагаемые, например, по общим переменным: $(48xz^2 - 15yz^2) + (32xy^2 - 10y^3)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3z^2$: $3z^2(16x - 5y)$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $2y^2$: $2y^2(16x - 5y)$.
Получим выражение: $3z^2(16x - 5y) + 2y^2(16x - 5y)$.
Вынесем за скобки общий множитель $(16x - 5y)$: $(16x - 5y)(3z^2 + 2y^2)$.

Ответ: $(16x - 5y)(3z^2 + 2y^2)$

Разложить многочлен на множители и результат проверить умножением (510—511).

510. 1) $16ab^2 - 5b^2c - 10c^3 + 32ac^2;$ 2) $6mnk^2 + 15m^2k - 14n^3k - 35mn^2;$

3) $-28ac + 35c^2 - 10cx + 8ax;$ 4) $-24bx - 15c^2 + 40bc + 9cx.$

1)

Исходный многочлен: $16ab^2 - 5b^2c - 10c^3 + 32ac^2$.

Сгруппируем члены многочлена: первый со вторым и третий с четвертым, предварительно поменяв их местами для удобства.

$(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $b^2$ в первой и $2c^2$ во второй.

$b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c)$

Теперь вынесем общий множитель $(16a - 5c)$ за скобки.

$(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

Проверим результат умножением:

$(16a - 5c)(b^2 + 2c^2) = 16a \cdot b^2 + 16a \cdot 2c^2 - 5c \cdot b^2 - 5c \cdot 2c^2 = 16ab^2 + 32ac^2 - 5b^2c - 10c^3$

Переставив слагаемые, получаем исходный многочлен: $16ab^2 - 5b^2c - 10c^3 + 32ac^2$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$.

2)

Исходный многочлен: $6mnk^2 + 15m^2k - 14n^3k - 35mn^2$.

Сгруппируем члены многочлена: первый со вторым и третий с четвертым.

$(6mnk^2 + 15m^2k) + (-14n^3k - 35mn^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $3mk$ в первой и $-7n^2$ во второй.

$3mk(2nk + 5m) - 7n^2(2nk + 5m)$

Теперь вынесем общий множитель $(2nk + 5m)$ за скобки.

$(2nk + 5m)(3mk - 7n^2)$

Проверим результат умножением:

$(2nk + 5m)(3mk - 7n^2) = 2nk \cdot 3mk + 2nk \cdot (-7n^2) + 5m \cdot 3mk + 5m \cdot (-7n^2) = 6mnk^2 - 14n^3k + 15m^2k - 35mn^2$

Переставив слагаемые, получаем исходный многочлен: $6mnk^2 + 15m^2k - 14n^3k - 35mn^2$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(2nk + 5m)(3mk - 7n^2)$.

3)

Исходный многочлен: $-28ac + 35c^2 - 10cx + 8ax$.

Перегруппируем члены многочлена для удобства: первый с четвертым и второй с третьим.

$(-28ac + 8ax) + (35c^2 - 10cx)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $-4a$ в первой и $5c$ во второй.

$-4a(7c - 2x) + 5c(7c - 2x)$

Теперь вынесем общий множитель $(7c - 2x)$ за скобки.

$(7c - 2x)(5c - 4a)$

Проверим результат умножением:

$(7c - 2x)(5c - 4a) = 7c \cdot 5c + 7c \cdot (-4a) - 2x \cdot 5c - 2x \cdot (-4a) = 35c^2 - 28ac - 10cx + 8ax$

Переставив слагаемые, получаем исходный многочлен: $-28ac + 35c^2 - 10cx + 8ax$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(7c - 2x)(5c - 4a)$.

4)

Исходный многочлен: $-24bx - 15c^2 + 40bc + 9cx$.

Перегруппируем члены многочлена для удобства: сгруппируем члены, содержащие $b$, и члены, содержащие $c$.

$(40bc - 24bx) + (-15c^2 + 9cx)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $8b$ в первой и $-3c$ во второй.

$8b(5c - 3x) - 3c(5c - 3x)$

Теперь вынесем общий множитель $(5c - 3x)$ за скобки.

$(5c - 3x)(8b - 3c)$

Проверим результат умножением:

$(5c - 3x)(8b - 3c) = 5c \cdot 8b + 5c \cdot (-3c) - 3x \cdot 8b - 3x \cdot (-3c) = 40bc - 15c^2 - 24bx + 9cx$

Переставив слагаемые, получаем исходный многочлен: $-24bx - 15c^2 + 40bc + 9cx$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(5c - 3x)(8b - 3c)$.

511. 1) $xy^2-by^2-ax+ab+y^2-a;$

2) $ax^2-ay-bx^2+cy+by-cx^2;$

3) $a^2x^2-bx^2+a^2x-bx+a^2y-by;$

4) $ax^2-bx^2+ay-by-ax+b.$

1) Для разложения на множители многочлена $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Объединим члены с $y^2$ в одну группу, а члены с $a$ — в другую.

$(xy^2 - by^2 + y^2) + (-ax + ab - a)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $y^2$, а из второй — $-a$.

$y^2(x - b + 1) - a(x - b + 1)$

Теперь мы видим, что обе группы имеют общий множитель $(x - b + 1)$. Вынесем его за скобки.

$(y^2 - a)(x - b + 1)$

Ответ: $(y^2 - a)(x - b + 1)$

2) Разложим на множители многочлен $ax^2 - ay - bx^2 + cy + by - cx^2$. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x^2$, и члены, содержащие переменную $y$.

$(ax^2 - bx^2 - cx^2) + (-ay + by + cy)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2$ из первой и $y$ из второй.

$x^2(a - b - c) + y(-a + b + c)$

Заметим, что выражение в скобках у второго слагаемого можно представить как $-(a - b - c)$. Перепишем выражение:

$x^2(a - b - c) - y(a - b - c)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a - b - c)$ за скобки.

$(x^2 - y)(a - b - c)$

Ответ: $(x^2 - y)(a - b - c)$

3) Разложим на множители многочлен $a^2x^2 - bx^2 + a^2x - bx + a^2y - by$. Сгруппируем члены по общим множителям. В данном случае удобно сгруппировать члены, имеющие одинаковые переменные части.

$(a^2x^2 - bx^2) + (a^2x - bx) + (a^2y - by)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$, из второй — $x$, из третьей — $y$.

$x^2(a^2 - b) + x(a^2 - b) + y(a^2 - b)$

Все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(a^2 - b)$. Вынесем его за скобки.

$(x^2 + x + y)(a^2 - b)$

Ответ: $(a^2 - b)(x^2 + x + y)$

4) Для разложения на множители многочлена $ax^2 - bx^2 + ay - by - ax + b$ методом группировки в его исходном виде не удается получить общий множитель. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятным исправлением является замена члена $-ax$ на $-a$. Решим задачу для исправленного выражения $ax^2 - bx^2 + ay - by - a + b$.

Сгруппируем члены следующим образом:

$(ax^2 - bx^2) + (ay - by) - (a - b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$, из второй — $y$.

$x^2(a - b) + y(a - b) - 1(a - b)$

Теперь вынесем общий для всех членов множитель $(a - b)$ за скобки.

$(a - b)(x^2 + y - 1)$

Ответ (для исправленного выражения): $(a - b)(x^2 + y - 1)$

512. Найти значение выражения:

1) $5a^2 - 5ax - 7a + 7x$ при $x=-3, a=4;$

2) $m^2 - mn - 3m + 3n$ при $m=0.5, n=0.25;$

3) $a^2 + ab - 5a - 5b$ при $a=6.6, b=0.4;$

4) $a^2 - ab - 2a + 2b$ при $a=\frac{7}{20}, b=0.15.$

1) Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки.
$5a^2 - 5ax - 7a + 7x = (5a^2 - 5ax) + (-7a + 7x) = 5a(a - x) - 7(a - x)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - x)$:
$(a - x)(5a - 7)$
Подставим в полученное выражение значения $x = -3$ и $a = 4$:
$(4 - (-3))(5 \cdot 4 - 7) = (4 + 3)(20 - 7) = 7 \cdot 13 = 91$
Ответ: 91

2) Упростим выражение методом группировки:
$m^2 - mn - 3m + 3n = (m^2 - mn) - (3m - 3n) = m(m - n) - 3(m - n)$
Вынесем общий множитель $(m - n)$:
$(m - n)(m - 3)$
Подставим значения $m = 0,5$ и $n = 0,25$:
$(0,5 - 0,25)(0,5 - 3) = 0,25 \cdot (-2,5) = -0,625$
Ответ: -0,625

3) Упростим выражение, сгруппировав слагаемые:
$a^2 + ab - 5a - 5b = (a^2 + ab) - (5a + 5b) = a(a + b) - 5(a + b)$
Вынесем общий множитель $(a + b)$:
$(a + b)(a - 5)$
Подставим значения $a = 6,6$ и $b = 0,4$:
$(6,6 + 0,4)(6,6 - 5) = 7 \cdot 1,6 = 11,2$
Ответ: 11,2

4) Сначала упростим выражение методом группировки:
$a^2 - ab - 2a + 2b = (a^2 - ab) - (2a - 2b) = a(a - b) - 2(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$:
$(a - b)(a - 2)$
Для удобства вычислений представим все числа в виде десятичных дробей.
$a = \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35$
$b = 0,15$
Подставим значения в упрощенное выражение:
$(0,35 - 0,15)(0,35 - 2) = 0,2 \cdot (-1,65) = -0,33$
Ответ: -0,33